Группы, кольца и поля. - 5 стр.

                                      ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ                                      5

  Пример 21. Сопоставим каждому действительному числу r ∈ R скалярную матрицу r · E
размера n × n. Это определяет мономорфизм R → Mat(n, n).
   Пример 22. Зафиксируем точку x0 ∈ R и сопоставим каждой непрерывной функции f ∈ C(R)
её значение в точке x0 . Это — эпиморфизм C(R) → R. Его ядро состоит из функций, обращаю-
щихся в нуль в точке x0 .
   Пример 23. Рассмотрим n-мерное векторное пространство V и некоторый его базис e1 , . . . , en ∈
V . Сопоставим каждому линейному оператору A : V → V его матрицу в этом базисе. Это сопо-
ставление определяет изоморфизм Lin(V, V ) → Mat(n, n). Заметим, что этот изоморфизм зависит
от выбора базиса!
  Предложение 1. Пусть f : R → R′ — гомоморфизм колец. Тогда:
   1) если a, b ∈ im f , то a + b ∈ im f и ab ∈ im f ;
   2) если a, b ∈ ker f , то a + b ∈ ker f , а также ac ∈ ker f и ca ∈ ker f для любого c ∈ R.
  Определение 12. Подмножество S ⊂ R называется подкольцом, если оно обладает свойства-
ми, описанными в п. 1 предложения 1. Оно называется идеалом, если оно обладает свойствами,
описанными в п. 2 этого предложения.
  Пример 24. Множество скалярных матриц является подкольцом кольца диагональных мат-
риц, а диагональные матрицы, в свою очередь, образуют подкольцо кольца верхних треугольных
матриц 3.
  Пример 25. Множество 2Z ⊂ Z чётных чисел является идеалом кольца целых чисел.
  Пример 26. Множество µ(x0 ) ⊂ C(R), состоящее из функций, обращающихся в нуль в точ-
ке x0 ∈ R, является идеалом кольца непрерывных функций.


  2. Кольцо целых чисел
  Главное свойство целых чисел — это свойство делимости.
  Предложение 2. Пусть m и n — целые числа и n 6= 0. Тогда существует единственная пара
таких целых чисел q и r, что
                             m = qn + r,   0 6 r < |n|.                              (2)
  Число q называется (неполным) частным от деления m на n, а r — остатком.
  Если в равенстве (2) r = 0, то говорят, что m делится на n (или кратно n). В этом случае n
называется делителем числа m.
  Определение 13. Целое число p > 1 называется простым, если оно делится только на себя и
единицу.
  Пример 27 (первые 10 простых чисел). Вот первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29.
  Теорема 1 (теорема Евклида). Множество простых чисел бесконечно.
  Теорема 2 (основная теорема арифметики). Любое натуральное число n > 1 единственным
образом разлагается на простые множители. Точнее, существует единственный набор таких про-
стых чисел p1 < p2 < · · · < pk , что
                                      n = pi11 pi22 . . . pikk ,                       (3)
где i1 , . . . , ik > 0.
  Определение 14. Пусть m и n — целые числа.
  3Квадратная матрица (a ) называется верхней треугольной, если a = 0 при i > j.
                        ij                                       ij