Группы, кольца и поля. - 3 стр.

                                   ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ                                     3
                                                                    
                          0 0 1                0 1 0                0 0 1
                A231   = 1 0 0 ,   A312   = 0 0 1 ,   A321   = 0 1 0 ,
                          0 1 0                1 0 0                1 0 0
и они образуют подгруппу, изоморфную Σ3 .
  Вообще, если в GL(n) рассмотреть все матрицы, в каждой строке и столбце которых будет сто-
ять ровно по одной единице, а остальные элементы будут нулевыми, то множество этих матриц
(их будет ровно n!) будет являться подгруппой, изоморфной Σn . Матрицы этого вида, опреде-
литель которых равен единице (таких матриц n!  2 ), также образует группу, называемую группой
                                                                        +
чётных подстановок и обозначаемую через Σ+    n . Например, группа Σ3 состоит из матриц A123 ,
A231 и A312 (или, что то же самое, из подстановок σ123 , σ231 и σ312 ).
  Рассмотрим последний пример группы.
   Пример 9. Пусть SO(2) — множество поворотов плоскости вокруг некоторой выбранной точки.
Композиция двух поворотов является поворотом и, поскольку поворот — отображение плоскости
в себя, композиция является ассоциативной. Поворот на 0 градусов выполняет роль единичного
элемента. Таким образом, SO(2) — группа.                        
   Сопоставим повороту на угол ϕ матрицу Aϕ = cos      ϕ − sin ϕ
                                                   sin ϕ cos ϕ . Очевидно, Aϕ ◦ Aψ = Aϕ+ψ .
Это означает, что композиции поворотов соответствует композиция матриц, т.е. мы построили
гомоморфизм группы SO(2) в группу GL(2). Этот гомоморфизм является мономорфизмом.
  Изучим теперь абстрактные алгебраические объекты, снабжённые двумя операциями.
  Определение 3. Множество R, наделённое операциями сложения «+» и умножения «·», на-
зывается кольцом, если эти операции обладают следующими свойствами:
   1) для любых элементов a и b ∈ R имеет место равенство a + b = b + a (сложение коммута-
      тивно);
   2) если c ∈ R, то (a + b) + c = a + (b + c) (сложение ассоциативно);
   3) существует такой элемент 0 ∈ R, что 0 + a = a + 0 = a для любого a ∈ R (существование
      нуля);
   4) для любого a ∈ R существует такой элемент −a ∈ R, что (−a) + a = a + (−a) = 0 (суще-
      ствование противоположного элемента);
   5) для любых элементов a, b и c ∈ R выполняются равенства a(b+c) = ab+ac, (a+b)c = ac+bc
      (дистрибутивность умножения относительно сложения).
  Замечание 1. Из определения 3 следует, что всякое кольцо является коммутативной группой
относительно умножения.
  Определение 4. Кольцо R называется кольцом с единицей, если существует такой элемент 1 ∈
R (единица кольца), что 1 · a = a · 1 для всех a ∈ R.
  Определение 5. Кольцо R называется ассоциативным, если a(bc) = (ab)c для любых элемен-
тов a, b и c ∈ R (то есть если определённое в нём умножение ассоциативно).
  Определение 6. Кольцо R называется коммутативным, если ab = ba для любых элементов a
и b ∈ R (то есть если определённое в нём умножение коммутативно).
  Определение 7. Коммутативное и ассоциативное кольцо R с единицей называется полем, если
каждый ненулевой элемент a ∈ R обладает обратным, то есть существует такой элемент a−1 ,
что a−1 a = aa−1 = 1.
  Замечание 2. Для всякого поля R множество R \ {0} его ненулевых элементов является ком-
мутативной группой относительно умножения.
  Рассмотрим примеры колец и полей.
  Пример 10. Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сло-
жения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.