Группы, кольца и поля. - 2 стр.

2                                  ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

— изоморфизм этих групп. Обратным к нему является отображение
                                    ln : R+ → R,   x 7→ ln x.
    Рассмотрим ещё несколько примеров.
  Пример 6 (группы подстановок). Пусть N2 = {1, 2} — множество, состоящее из первых двух
натуральных чисел. Существуют два отображения N2 → N2 , являющиеся взаимно-однозначными
соответствиями:                  (                 (
                                   1 → 1,           1 → 2,
                           σ12 :          и σ21 :
                                   2→2              2 → 1.
Обозначим множество этих отображений через Σ2 и в качестве групповой операции рассмотрим
композицию отображений. Тогда произведение элементов будет задаваться следующей таблицей
                                           ◦    σ12 σ21
                                          σ12 σ12 σ21
                                          σ21 σ21 σ12
Легко проверить, что относительно введённой операции Σ2 является группой, единицей которой
                             −1
служит отображение σ12 , и σ21  = σ21 .
   Точно так же можно рассмотреть множество N3 = {1, 2, 3} и всевозможные взаимно-однозначные
отображения этого множества в себя. Их будет шесть:
                                                                              
       
        1 → 1,      
                      1 →  1,        
                                       1 →  2,      
                                                       1 → 2,       
                                                                      1 → 3,      1 → 3,
                                                                                   
 σ123 : 2 → 2, σ132 : 2 → 3, σ213 : 2 → 1, σ231 : 2 → 3, σ312 : 2 → 1, σ321 : 2 → 2,
                                                                              
         3 → 3,        3 → 2,           3 → 3,          3 → 1,         3 → 2,        3 → 1.
                                                                              

Вновь взяв за групповую операцию композицию отображений, мы получим следующую таблицу
умножения:
                             ◦    σ123 σ132 σ213 σ231 σ312 σ321
                           σ123 σ123 σ132 σ213 σ231 σ312 σ321
                           σ132 σ132 σ123 σ231 σ213 σ321 σ312
                           σ213 σ213 σ312 σ123 σ321 σ132 σ231
                           σ231 σ231 σ321 σ132 σ312 σ123 σ213
                           σ312 σ312 σ213 σ321 σ123 σ231 σ132
                           σ321 σ321 σ231 σ312 σ132 σ213 σ123
Эта таблица тоже задаёт группу, обозначаемую через Σ3 . Эта группа не коммутативна.
  Вообще, рассмотрев множество Nk = {1, 2, . . . , k} и все его взаимно-однозначные отображения
в себя, мы получим группу Σk , называемую группой подстановок порядка k; она содержит k!
элементов. Если в Σk рассмотреть такие подстановки σ, что σ(k) = k, то они образуют подгруппу,
изоморфную Σk−1 .
  Пример 7. Множество GL(n) всех невырожденных (т.е. обратимых) матриц размера n × n
является группой по отношению к произведению матриц, называемой полной линейной группой
(обратите внимание на то, что в GL(n) матрицы можно перемножать, но нельзя складывать).
Отображение ∆ : GL(n) → R \ {0}, сопоставляющее каждой матрице её определитель, является
эпиморфизмом полной линейной группы в группу ненулевых действительных чисел.
  Матрицы с положительным определителем образуют подгруппу полной линейной группы. Мат-
рицы, чей определитель равен 1, также образуют подгруппу в GL(n).
  Пример 8. Рассмотрим в группе GL(2) матрицы A12 = ( 10 01 ) и A21 = ( 01 10 ). Они образуют
подгруппу, изоморфную группе Σ2 . Аналогичным образом, в GL(3) можно рассмотреть матрицы
                                                                  
                         1 0 0              1 0 0                0 1 0
                A123 = 0 1 0 , A132 = 0 0 1 , A213 = 1 0 0 ,
                         0 0 1              0 1 0                0 0 1