Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 6 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

6
Ɂɚɞɚɱɚ 5. Ⱦɚɧ ɨɛɳɢɣ ɜɢɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ: Ⱥɯ
2
+ Ⱥy
2
+ Dx +
+ Ey + F = 0. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ, ɧɚɣɬɢ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɢ ɪɚɞɢɭɫ. ɇɚɱɟɪɬɢɬɶ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
Ɉɏɍ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ Ⱥ, D, E, F ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 2 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: (ɯɯ
0
)
2
+ (ɭɭ
0
)
2
=
= R
2
, ɝɞɟ ɯ
0
, ɭ
0
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ, R – ɪɚɞɢɭɫ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ.
Ɂɚɞɚɱɚ 6. Ⱦɚɧ ɨɛɳɢɣ ɜɢɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɷɥɥɢɩɫɚ: Ⱥɯ
2
+ ɋy
2
+ Dx + Ey +
+ F = 0. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɥɥɢɩɫɚ, ɧɚɣɬɢ ɩɨɥɭɨɫɢ
ɷɥɥɢɩɫɚ, ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɜɟɪɲɢɧ, ɮɨɤɭɫɨɜ, ɰɟɧɬɪɚ ɢ ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ.
ɇɚɱɟɪɬɢɬɶ ɷɥɥɢɩɫ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ Ɉɏɍ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ Ⱥ, ɋ, D, E, F ɜɡɹɬɶ
ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 2 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ʉɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɥɥɢɩɫɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
2
2
0
)(
a
xx
+
2
2
0
)(
b
yy
= 1,
ɝɞɟ ɯ
0
, ɭ
0
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɷɥɥɢɩɫɚ, ɚ, b – ɩɨɥɭɨɫɢ ɷɥɥɢɩɫɚ. Ɍɨɱɤɢ
Ⱥ1(ɚ, 0), ȼ1(0, b), Ⱥ2(–ɚ, 0), B2(0, –b) – ɜɟɪɲɢɧɵ, ɚ F1(c, 0) ɢ F2(–c, 0) –
ɮɨɤɭɫɵ ɷɥɥɢɩɫɚ, ɨɩɢɫɵɜɚɟɦɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ
2
2
a
x
+
2
2
b
y
= 1. ȼɟɥɢɱɢɧɚ
ɫ =
22
ba ɮɨɤɭɫɧɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ.
a
c
H
ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ ɷɥɥɢɩɫɚ.
Ɂɚɞɚɱɚ 7. Ⱦɚɧ ɨɛɳɢɣ ɜɢɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ: Ⱥɯ
2
ɋy
2
+ Dx + Ey +
+ F = 0. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ, ɧɚɣɬɢ ɩɨɥɭɨɫɢ
ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ, ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɜɟɪɲɢɧ, ɮɨɤɭɫɨɜ ɢ ɰɟɧɬɪɚ, ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ,
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɚɫɢɦɩɬɨɬ. ɇɚɱɟɪɬɢɬɶ ɝɢɩɟɪɛɨɥɭ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ Ɉɏɍ.
Ɂɧɚɱɟɧɢɹ Ⱥ, ɋ, D, E, F ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 2 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ʉɚɧɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ:
2
2
0
)(
a
xx
2
2
0
)(
b
yy
= 1 ɢ
2
2
0
)(
a
xx
2
2
0
)(
b
yy
= –1, ɝɞɟ ɯ
0
, ɭ
0
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ; ɚ
ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɚɹ ɩɨɥɭɨɫɶ ɞɥɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢ ɦɧɢɦɚɹ ɩɨɥɭɨɫɶ ɞɥɹ
ɜɬɨɪɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ; b – ɦɧɢɦɚɹ ɩɨɥɭɨɫɶ ɞɥɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢ
ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɚɹ ɩɨɥɭɨɫɶ ɞɥɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ. ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɫ =
22
ba
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɨɤɭɫɧɵɦ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟɦ. Ɍɨɱɤɢ Ⱥ1(ɚ, 0), Ⱥ2(–ɚ, 0) – ɜɟɪɲɢɧɵ,
F1(c, 0) ɢ F2(–c, 0) – ɮɨɤɭɫɵ, ɚ
a
c
H
ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ,
ɨɩɢɫɵɜɚɟɦɨɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ
2
2
a
x
2
2
b
y
= 1. Ɍɨɱɤɢ ȼ1(0, b), B2(0, –b) –
ɜɟɪɲɢɧɵ, F1(0, ɫ) ɢ F2(0, –ɫ) – ɮɨɤɭɫɵ, ɚ
b
c
H
ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ
ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ, ɨɩɢɫɵɜɚɟɦɨɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ
2
2
a
x
2
2
b
y
= –1.
x
a
b
y r
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɚɫɢɦɩɬɨɬ ɝɢɩɟɪɛɨɥɵ.
Ɂɚɞɚɱɚ 8. Ⱦɚɧ ɨɛɳɢɣ ɜɢɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɚɪɚɛɨɥ: Ⱥɯ
2
+ Dx + Ey + F = 0.
ɢɋy
2
+ Dx + Ey + F = 0. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɚɪɚɛɨɥ, ɧɚɣɬɢ
       ������ 5. ��� ����� ��� ��������� ����������: ��2 + �y2 + Dx +
+ Ey + F = 0. ��������� ���������� ��������� ����������, �����
���������� ������ � ������. ��������� ���������� � ������� ���������
���. �������� �, D, E, F ����� �� ������� 2 �������� ��������.
       ���������� ��������� ���������� ����� ���: (� – �0)2 + (� – �0)2 =
 = R2, ��� �0, �0 – ���������� ������ ����������, R – ������ ����������.
        ������ 6. ��� ����� ��� ��������� �������: ��2 + �y2 + Dx + Ey +
+ F = 0. ��������� ������������ ��������� �������, ����� �������
�������, ���������� ������, �������, ������ � ��������������.
��������� ������ � ������� ��������� ���. �������� �, �, D, E, F �����
�� ������� 2 �������� ��������.
                                                                 ( x � x0 ) 2   ( y � y0 ) 2
      ������������ ��������� ������� ����� ���:                               +              = 1,
                                                                     a2             b2
��� �0, �0 – ���������� ������ �������, �, b – ������� �������. �����
�1(�, 0), �1(0, b), �2(–�, 0), B2(0, –b) – �������, � F1(c, 0) � F2(–c, 0) –
                                                           x2              y2
������ �������, ������������ ����������                           +              = 1. ��������
                                                           a2              b2
                                               c
� = a 2 � b 2 – �������� ����������. � �         – �������������� �������.
                                               a
     ������ 7. ��� ����� ��� ��������� ���������: ��2 – �y2 + Dx + Ey +
+ F = 0. ��������� ������������ ��������� ���������, ����� �������
���������, ���������� ������, ������� � ������, ��������������,
��������� ��������. ��������� ��������� � ������� ��������� ���.
�������� �, �, D, E, F ����� �� ������� 2 �������� ��������.
                                                        ( x � x0 ) 2            ( y � y0 ) 2
      ������������ ��������� ���������:                                    –                   = 1 �
                                                            a2                      b2
( x � x0 ) 2   ( y � y0 ) 2
      2
             –              = –1, ��� �0, �0 – ���������� ������ ���������; � –
    a              b2
�������������� ������� ��� ������� ��������� � ������ ������� ���
������� ���������; b – ������ ������� ��� ������� ��������� �
�������������� ������� ��� ������� ���������. �������� � = a 2 � b 2
���������� �������� �����������. ����� �1(�, 0), �2(–�, 0) – �������,
                                                    c
F1(c, 0) �   F2(–c, 0) – ������, � � �                – �������������� ���������,
                                                    a
                             x2       y2
����������� ����������            –            = 1. ����� �1(0, b), B2(0, –b) –
                             a2       b2
                                                                       c
�������, F1(0, �) �      F2(0, –�) – ������, � � �                             – ��������������
                                                                       b
                                                2      2
                                               x    y            b
���������, ����������� ����������                 – 2 = –1. y � � x – ���������
                                               a2   b            a
�������� ���������.
      ������ 8. ��� ����� ��� ��������� �������: ��2 + Dx + Ey + F = 0.
    2
� �y + Dx + Ey + F = 0. ��������� ������������ ��������� �������, �����
                                           6