Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

8
ɇɨɦɟɪ
ɜɚɪɢɚɧɬɚ
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
ɚ
ɯ
–3 –4 3 4 1 –1 –6 –3 –9 8 3 –3 5 –5
ɚ
ɭ
–4 –3 4 3 –1 –6 9 –4 8 3 –3 5 –5 6
ɚ
z
3 4 1 –1 –6 9 –9 8 3 –3 5 –5 6 0
b
x
4 1 –1 –6 9 –9 8 3 –3 5 –5 6 0 –6
b
y
2 3 3 4 4 5 5 1 2 2 3 3 4 4
b
z
9 4 0 –2 8 4 3 5 1 5 –4 2 1 –6
c
x
–1 4 –6 9 –4 8 3 4 1 –1 –6 9 –3 –4
c
y
4 1 –1 –6 9 –3 –4 –6 9 –4 8 3 –3 –4
c
z
–3 –4 3 4 4 1 –1 –6 9 –3 –4 9 –4 8
Ɂɚɞɚɱɚ 9. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɞɥɢɧɭ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ, b, ɫ, ɢɯ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɢɟ
ɤɨɫɢɧɭɫɵ ɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɜɟɤɬɨɪɨɜ.
Ⱦɥɢɧɚ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ: |a| = ɚ =
222
zyx
aaa .
ɇɚɩɪɚɜɥɹɸɳɢɟ ɤɨɫɢɧɭɫɵ ɜɟɤɬɨɪɚ a ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
ɚ
ɯ
= |a| cos Į, ɚ
ɭ
= |a| cos ȕ, ɚ
z
= |a| cos Ȗ. Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɜɟɤɬɨɪɨɜ
ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɚ = ɚ
ɯ
i + ɚ
ɭ
j + ɚ
z
k.
Ɂɚɞɚɱɚ 10. ɍɦɧɨɠɢɬɶ ɜɟɤɬɨɪɵ ɚ, b, ɫ ɧɚ ɫɤɚɥɹɪ Ȝ = – 3. ɇɚɣɬɢ: ɫɭɦɦɭ
ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ, b, ɫ; ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɞɜɭɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ ɢ b; ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ
ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ ɢ b; ɫɤɚɥɹɪɧɵɣ ɤɜɚɞɪɚɬ ɜɟɤɬɨɪɚ ɫ; ɤɨɫɢɧɭɫ ɭɝɥɚ ɦɟɠɞɭ
ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ ɚ ɢ b, ɚ ɢ ɫ, b ɢ ɫ.
ɉɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɧɚ ɫɤɚɥɹɪ, ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ
ɜɟɤɬɨɪɚ ɭɦɧɨɠɚɸɬɫɹ
ɧɚ ɷɬɨɬ ɫɤɚɥɹɪ, ɬ. ɟ. Ȝɚ = Ȝɚ
ɯ
i + Ȝɚ
ɭ
j + Ȝɚ
z
k. ɉɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ (ɢɥɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɢ)
ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɢɯ ɨɞɧɨɢɦɟɧɧɵɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ (ɢɥɢ ɜɵɱɢɬɚɸɬɫɹ),
ɬ. ɟ. ɚ ± b = (a
x
± b
x
)i + (a
y
± b
y
)j + (a
z
± b
z
)k. ɋɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɞɜɭɯ
ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ ɢ b ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: ɚǜ b = ɚ
ɯ
b
ɯ
+ ɚ
ɭ
b
ɭ
+ ɚ
z
b
z
.
ɋɤɚɥɹɪɧɵɣ ɤɜɚɞɪɚɬ ɜɟɤɬɨɪɚ ɪɚɜɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɦɨɞɭɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ, ɬ. ɟ. ɚ
2
=
ɚ
2
. Ʉɨɫɢɧɭɫ ɭɝɥɚ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɧɟɧɭɥɟɜɵɦɢ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ ɚ ɢ b ɪɚɜɟɧ: cos ij =
ba
ba
G
G
.
Ɂɚɞɚɱɚ 11. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɫɥɨɜɢɟ ɤɨɥɥɢɧɟɚɪɧɨɫɬɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ,
ɤɨɥɥɢɧɟɚɪɧɵ ɥɢ ɜɟɤɬɨɪɵ ɚ, b, ɫ ɩɨɩɚɪɧɨ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɫɥɨɜɢɟ
ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɫɬɢ ɜɟɤɬɨɪɨɜ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ ɥɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ,
b, ɫ ɩɨɩɚɪɧɨ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ. ɇɚɣɬɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɢ ɢɯ ɦɨɞɭɥɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɜɟɤɬɨɪɧɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ ɢ b, ɚ ɢ ɫ, b ɢ ɫ.
ɇɚɣɬɢ
ɫɦɟɲɚɧɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɬɪɟɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ, b ɢ ɫ.
Ⱦɜɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɤɨɥɥɢɧɟɚɪɧɵ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɢɯ
ɨɞɧɨɢɦɟɧɧɵɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɵ, ɬ. ɟ.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
. Ⱦɜɚ ɜɟɤɬɨɪɚ
ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɫɭɦɦɚ ɩɚɪɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ
ɢɯ ɨɞɧɨɢɦɟɧɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɬ. ɟ. ɚ
ɯ
b
ɯ
+ ɚ
ɭ
b
ɭ
+ ɚ
z
b
z
= 0. ɉɨɞ
 �����      15 16 17 18 19 20 21 22 23 24                  25   26   27   28
��������
   ��       –3 –4 3 4 1 –1 –6                –3 –9 8        3   –3    5   –5
   ��       –4 –3 4 3 –1 –6 9                –4 8 3        –3    5   –5    6
   �z       3 4 1 –1 –6 9 –9                  8 3 –3        5   –5    6    0
   bx       4 1 –1 –6 9 –9 8                  3 –3 5       –5    6    0   –6
   by       2 3 3 4 4 5 5                     1 2 2         3    3    4    4
   bz       9 4 0 –2 8 4 3                    5 1 5        –4    2    1   –6
   cx       –1 4 –6 9 –4 8 3                  4 1 –1       –6    9   –3   –4
   cy       4 1 –1 –6 9 –3 –4                –6 9 –4        8    3   –3   –4
   cz       –3 –4 3 4 4 1 –1                 –6 9 –3       –4    9   –4    8

        ������ 9. ���������� ����� �������� �, b, �, �� ������������
�������� � �������� ������������ ����� ��������.
        ����� �������� ������������ � ����: |a| = � = a x2 � a y2 � a z2 .
������������ �������� ������� a ������������ �� ���������:
�� = |a| cos �, �� = |a| cos �, �z = |a| cos �. ������������ ����� ��������
����� ���: � = ��i + ��j + �zk.
        ������ 10. �������� ������� �, b, � �� ������ � = – 3. �����: �����
�������� �, b, �; �������� ���� �������� � � b; ��������� ������������
�������� � � b; ��������� ������� ������� �; ������� ���� �����
��������� � � b, � � �, b � �.
        ��� ��������� ������� �� ������, ���������� ������� ����������
�� ���� ������, �. �. �� = ���i + ���j + ��zk. ��� �������� (��� ���������)
�������� �� ����������� ���������� ������������ (��� ����������),
�. �. � ± b = (ax ± bx)i + (ay ± by)j + (az ± bz)k. ��������� ������������� ����
�������� � � b ������������ �� �������: � � b = ��b� + ��b� + �zbz.
��������� ������� ������� ����� �������� ������ ����� �������, �. �. �2 =
�2. �������
    �
              ���� ����� ����� ���������� ��������� � � b �����: cos � =
�
a �b
     .
a�b
      ������ 11. ��������� ������� ��������������, ����������,
����������� �� ������� �, b, � ������� ����� �����. ��������� �������
������������������ ��������, ����������, ��������������� �� ������� �,
b, � ������� ����� �����. ����� ������� � �� ������, ������� ��������
��������� ������������� �������������� �������� � � b, � � �, b � �.
����� ��������� ������������ ���� �������� �, b � �.
      ��� ������� ����������� ����� � ������ �����, ����� ��
                                                      ax a y az
����������� ���������� ���������������, �. �.           �   �   . ��� �������
                                                      bx b y bz
��������������� ����� � ������ �����, ����� ����� ������ ������������
�� ����������� ��������� ����� ����, �. �. ��b� + ��b� + �zbz = 0. ���
                                       8