Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 9 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

9
ɜɟɤɬɨɪɧɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɞɜɭɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ ɢ b ɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪ ɫ = ɚ ɯ
b = [ɚ, b], ɦɨɞɭɥɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɟɧ ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦɚ,
ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɝɨ ɧɚ ɞɚɧɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɚɯ, ɬ. ɟ. |c| = ab sin ij, ɷɬɨɬ ɜɟɤɬɨɪ
ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɟɧ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɣ ɧɚ ɧɢɯ ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦɚ ɢ
ɜɟɤɬɨɪɵ ɚ, b ɢ ɫ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɪɚɜɭɸ ɬɪɨɣɤɭ ɜɟɤɬɨɪɨɜ. ȿɫɥɢ ɞɜɚ ɜɟɤɬɨɪɚ
ɡɚɞɚɧɵ ɫɜɨɢɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ
, ɬ. ɟ. ɚ = ɚ
ɯ
i + ɚ
ɭ
j + ɚ
z
k ɢ b = b
ɯ
i + b
ɭ
j + b
z
k, ɬɨ
ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɬɚɤɢɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ
ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: ɚ ɯ b =
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
G
GG
. ȿɫɥɢ ɜɟɤɬɨɪɵ ɡɚɞɚɧɵ
ɫɜɨɢɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ, ɬ. ɟ. ɚ = ɚ
ɯ
i + ɚ
ɭ
j + ɚ
z
k, b = b
ɯ
i + b
ɭ
j + b
z
k ɢ ɫ = ɫ
ɯ
i +
+ ɫ
ɭ
j + ɫ
z
k ɬɨ ɫɦɟɲɚɧɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɬɚɤɢɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: ɚbɫ =
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 2 (3 ɱɚɫɚ)
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɂɚɞɚɱɢ ɧɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɩɪɹɦɨɣ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ.
Ɂɚɞɚɱɚ 1. ɇɚɣɬɢ: ɚ) ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ
ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɬɨɱɤɭ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ (ɯ
1
, ɭ
1
, z
1
), ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɜɟɤɬɨɪɭ
N(A,B,C); ɛ) ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ;
ɜ) ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɪɢ ɬɨɱɤɢ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ
(ɯ
1
,ɭ
1
,z
1
), (ɯ
2
,ɭ
2
,z
2
) ɢ (ɯ
3
,ɭ
3
,z
3
); ɝ) ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ ɨɬ ɬɨɱɤɢ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ
(ɯ
2
,ɭ
2
,z
2
) ɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɞɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ ɜ ɩɭɧɤɬɟ ɚ); ɞ) ɞɜɭɝɪɚɧɧɵɣ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ,
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜ ɩɭɧɤɬɚɯ ɚ) ɢɜ). ȼɫɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɟɟ ɞɚɧɧɵɟ
ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɜɵɛɢɪɚɸɬɫɹ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 4 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ Ɇ
1
(ɯ
1
, ɭ
1
, z
1
)
ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɜɟɤɬɨɪɭ N(Ⱥ, ȼ, ɋ) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: Ⱥ(ɯɯ
1
) +
+ ȼ(ɭɭ
1
) + ɋ(z – z
1
) = 0. ɇɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
222
CBA
DCzByAx
= 0. Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɬɨɱɤɢ Ɇ
2
(ɯ
2
, ɭ
2
, z
2
) ɞɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ,
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: d =
222
111
CBA
DCzByAx
. Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɞɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ: d
0
=
222
CBA
D
. ɉɭɫɬɶ
ɞɚɧɵ ɞɜɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ Ⱥ
1
ɯ + ȼ
1
ɭ + ɋ
1
z + D
1
= 0 ɢȺ
2
ɯ + ȼ
2
ɭ + ɋ
2
z + D
2
= 0 ɫ
ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɢɦɢ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ N
1
(A
1
, B
1
, C
1
) ɢ N
2
(A
2
, B
2
, C
2
), ɬɨɝɞɚ
��������� ������������� ���� �������� � � b ���������� ������ � = � �
b = [�, b],      ������ �������� ����� ������� ���������������,
������������ �� ������ ��������, �. �. |c| = ab sin �, ���� ������
��������������� ���������, ����������� �� ��� ��������������� �
������� �, b � � �������� ������ ������ ��������. ���� ��� �������
������ ������ ������������, �. �. � = ��i + ��j + �zk � b = b�i + b�j + bzk, ��
��������� ������������ ����� �������� ������������ � ���� ������������
                                      �          �       �
                                     i           j      k
�������� ������� �� �������: � � b = a x        ay      a z . ���� ������� ������
                                     bx         by      bz
������ ������������, �. �. � = ��i + ��j + �zk, b = b�i + b�j + bzk � � = ��i +
+ ��j + �zk �� ��������� ������������ ����� �������� ������������ � ����
                                                          ax   ay       az
������������ �������� ������� �� �������: �b� = bx b y bz .
                                                          cx   cy       cz


                           ������������ ������ 2 (3 ����)

       ������� 1. ������ �� ��������� ��������� � ������ � ������������.
       ������ 1. �����: �) ��������� ���������, ���������� �����
�������� ����� � ������������ (�1, �1, z1), ��������������� �������
N(A,B,C); �) ������������� ��������� ���������� ���������;
�) ��������� ���������, ���������� ����� ��� ����� � ������������
(�1,�1,z1), (�2,�2,z2) � (�3,�3,z3); �) ���������� �� ����� � ������������
(�2,�2,z2) � �� ������ ��������� �� ���������, ��������� �������
���������� � ������ �); �) ���������� ���� ����� ����� �����������,
��������� ������� �������� � ������� �) � �). ��� ����������� ������
��� ������� ������ ���������� �� ������� 4 �������� ��������.
       ��������� ���������, ���������� ����� ����� �1(�1, �1, z1)
��������������� ������� N(�, �, �) ������������ �� �������: �(� – �1) +
+ �(� – �1) + �(z – z1) = 0. ������������� ��������� ��������� ����� ���:
Ax � By � Cz � D
                   = 0. ���������� �� ����� �2(�2, �2, z2) �� ���������,
  A2 � B 2 � C 2
                                    Ax1 � By1 � Cz1 � D
������������ �� �������: d =                              . ���������� �� ������
                                       A2 � B 2 � C 2
                                                                             D
��������� �� ��������� ������������ � ����: d0 =                                 . �����
                                                                A � B2 � C 2
                                                                    2


���� ��� ��������� �1� + �1� + �1z + D1 = 0 � �2� + �2� + �2z + D2 = 0 �
������������� ��������� N1(A1, B1, C1) � N2(A2, B2, C2), �����


                                      9