Работа в Microsoft Office. Губина Т.Н - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Губина Т.Н., Масина О.Н., Губин М.А.
148
Предельная погрешность формулы (1) со-
ставляет
2
2
3
12
)(
M
n
ab −
, где - наибольшее
значение
2
M
)('' xf в промежутке
Пример: Вычислим интеграл
),( ba .
()
...785398,0
1
1
0
2
=
+
=
∫
x
dx
I
по формуле трапеций на 11
ординат (
). Имеем:
10=n
1,0
1
=x 9901,0
1
=y
2,0
2
=x 9615,0
2
=y
3,0
3
=x
9174,0
3
=y
4,0
4
=x 8621,0
4
=y 0,0
0
=
x 0000,1
0
=
y
5,0
5
=x 8000,0
5
=y 0,1
10
=
x 5000,0
10
=
y
6,0
6
=x 7353,0
6
=y 5000,1
100
=
+
yy
7,0
7
=x 6711,0
7
=y
.78498,00998,7
2
5000,1
10
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≈I
8,0
8
=x 6098,0
8
=y
Сумма
9,0
9
=x
5525,0
9
=x
0998,7
9
1
=
∑
=
=
i
i
i
y
Погрешность составляет примерно 0,0004.
Вариант 5
Формула Симпсона (параболических трапеций)
Промежуток интегрирования делим точками на равных час-
тей; длина каждой
),( ba
121
,...,,
−n
xxx n
n
ab
h
−
=
.
n
xbxa
=
= ,
0
.
Для единообразия полагаем
Тогда имеем:
()
()
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++++++
+
−
≈
−−
b
a
nn
n
yyyyyy
yy
n
ab
dxxf
212321121
0
...2...
2
)( . (1)
Это – формула Симпсона. Она дает общую площадь криволинейных трапеций
112100
xMMMx ,
22
2
311
xMMMx , …, у которых вместо дуг
1210
MMM ,
2231
MMM , …
данной линии
)(
x
f
y = взяты одноименные дуги парабол с вертикальными осями.
O
Y
y
0
y
1
y
2
y
n
α=x
0
x
1
x
2
x
n
=b
X
                                                                                     Губина Т.Н., Масина О.Н., Губин М.А.
                                                               Предельная погрешность формулы (1)                со-
          Y                                                            (b − a )  3
                                                               ставляет             M 2 , где M 2 - наибольшее
                                                                         12n 2
                                                               значение f ' ' ( x) в промежутке ( a, b) .

               y1   y2                              yn
          y0
                                                          X
    O     α=x0 x1    x2                            xn=b

                                                           1
                                                               dx
        Пример: Вычислим интеграл I =                      ∫ 1 + x (= 0,785398...) по формуле трапеций на 11
                                                           0
                                                                  2


ординат ( n = 10 ). Имеем:

               x1 = 0,1                     y1 = 0,9901
               x2 = 0,2                     y 2 = 0,9615
               x3 = 0,3                     y3 = 0,9174
               x4 = 0,4                     y 4 = 0,8621                 x0 = 0,0 y0 = 1,0000
               x5 = 0,5                     y5 = 0,8000                  x10 = 1,0 y10 = 0,5000
               x6 = 0,6                     y6 = 0,7353                        y0 + y10 = 1,5000
               x7 = 0,7                     y7 = 0,6711                  1 ⎛ 1,5000           ⎞
                                                                      I≈ ⎜          + 7,0998 ⎟ = 0,78498.
                                                                        10 ⎝ 2                ⎠
               x8 = 0,8                     y8 = 0,6098
               x9 = 0,9                     x9 = 0,5525
                                 i =9
                         Сумма   ∑y
                                 i =1
                                            i   = 7,0998
        Погрешность составляет примерно 0,0004.
Вариант 5
                        Формула Симпсона (параболических трапеций)
        Промежуток интегрирования ( a, b) делим точками x1 , x2 , ... , xn−1 на n равных час-
                             b−a
тей; длина каждой h =            .
                              n
        Для единообразия полагаем a = x0 , b = xn . Тогда имеем:
    b
                     b − a ⎡ y0 + y n
                                      + ( y1 + y 2 + ... + y n −1 ) + 2( y1 2 + y3 2 + ... + y n −1 2 )⎥ . (1)
                                                                                                       ⎤
   ∫a
        f ( x)dx ≈         ⎢
                       n ⎣ 2                                                                           ⎦
     Это – формула Симпсона. Она дает общую площадь криволинейных трапеций
x0 M 0 M 1 2 M 1 x1 , x1 M 1 M 3 M 2 x2 , …, у которых вместо дуг M 0 M 1 2 M 1 , M 1 M 3 2 M 2 , …
                                        2
данной линии y = f ( x) взяты одноименные дуги парабол с вертикальными осями.

                                                                148

Страницы