ВУЗ:
Составители:
2
1
0
. Понятие сплайна.
Введённые в выпуске 1 локальные интерполянты p
n
N
(f) непрерывной на
отрезке [a,b] функции f при N→∞ сходятся к f равномерно на [a,b]. Однако,
каким бы числом непрерывных производных на отрезке [a,b] функция f ни
обладала, т.е. к какому бы классу C
m
[a,b], m ≥ 1 ни принадлежала, эти её
приближения как функции, рассматриваемые на всём отрезке [a,b], всего лишь
непрерывные: во всех точках x
i
разбиения отрезка [a,b]
a= x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
i-1
< x
i
< x
i+1
< ... < x
N
=b , (1.1)
за исключением крайних точек x
0
, x
N
, локальный интерполянт не имеет
производных. Действительно, если бы в точке x
i
эта производная существовала,
то с ней совпадали бы , а значит, были бы равны производные в точке x
i
многочленов p
i,n
, p
i+1,n
, отвечающих соседним отрезкам разбиения [x
i-1
,x
i
] ,
[x
i
,x
i+1
] ; но это , вообще говоря , места не имеет: p′
i,n
(x
i
) ≠ p′
i+1,n
(x
i
) .Если этот
недостаток существенен, используют другие приближения – сплайны .
Термин «сплайн» ( spline ) имеет техническое происхождение: этим словом
английские чертёжники- кораблестроители прошлых веков называли длинную
гибкую рейку для вычерчивания деталей кораблей в натуральную величину, т.е.
чертёжный инструмент для проведения гладких кривых. В современной же
математике под сплайном понимают функцию ϕ , которая локально - на
частичных отрезках разбиения – тоже задаётся многочленами ϕ
i
, но при этом
подобранными так , чтобы в точке x
i
производные соседних многочленов ϕ
i
, ϕ
i+1
до порядка m включительно совпадали, т.е. так , чтобы глобально – на всём
отрезке [a,b] – это приближение оказалось функцией класса C
m
[a,b].
Определение 1.1. Сплайном порядка m степени n на отрезке [a,b]
называют функцию ϕ класса C
m
[a,b], которая на каждом частичном отрезке
разбиения [x
i-1
,x
i
] совпадает с некоторым многочленом степени не выше n :
ϕ(x) = ϕ
i
(x) = a
0
(i)
+ a
1
(i)
x + ... + a
n
(i)
x
n
, x
i-1
≤ x ≤ x
i
, i = 1, 2, ... , N (1.2)
(с изменением i коэффициенты многочлена, вообще говоря , меняются, что и
отмечено верхним символом (i) в обозначении коэффициентов). При этом, если в
точках (1.1) значения ϕ совпадают со значениями заданной на [a,b] функции f
ϕ(x
i
) = f(x
i
) , i = 0, 1, ... , N , (1.3)
то сплайн называют интерполяционным для f.
Замечание 1.2. Чаще всего используют сплайны 2-го порядка 3-й степени;
такие сплайны называют кубическими. Выбор значения m=2 объясняется в том
числе и тем , что при движении обрабатывающего инструмента в станках с
числовым программным управлением (ЧПУ ) по дважды непрерывно
дифференцируемой кривой удаётся избежать ударных нагрузок, которые в силу 2-
10. Понятие сплайна.
Введённые в выпуске 1 локальные интерполянты pnN(f) непрерывной на
отрезке [a,b] функции f при N→ ∞ сходятся к f равномерно на [a,b]. Однако,
каким бы числом непрерывных производных на отрезке [a,b] функция f ни
обладала, т.е. к какому бы классу Cm[a,b], m ≥ 1 ни принадлежала, эти её
приближения как функции, рассматриваемые на всём отрезке [a,b], всего лишь
непрерывные: во всех точках xi разбиения отрезка [a,b]
a= x0 < x1 < x2 < ... < xi-1 < xi < xi+1 < ... < xN =b , (1.1)
за исключением крайних точек x0 , xN , локальный интерполянт не имеет
производных. Действительно, если бы в точке xi эта производная существовала,
то с ней совпадали бы, а значит, были бы равны производные в точке x i
многочленов pi,n , pi+1,n , отвечающих соседним отрезкам разбиения [xi-1,xi] ,
[xi,xi+1] ; но это, вообще говоря, места не имеет: p′ i,n(xi) ≠ p′ i+1,n(xi) .Если этот
недостаток существенен, используют другие приближения – сплайны.
Термин «сплайн» ( spline ) имеет техническое происхождение: этим словом
английские чертёжники-кораблестроители прошлых веков называли длинную
гибкую рейку для вычерчивания деталей кораблей в натуральную величину, т.е.
чертёжный инструмент для проведения гладких кривых. В современной же
математике под сплайном понимают функцию ϕ, которая локально - на
частичных отрезках разбиения – тоже задаётся многочленами ϕi , но при этом
подобранными так, чтобы в точке xi производные соседних многочленов ϕi , ϕi+1
до порядка m включительно совпадали, т.е. так, чтобы глобально – на всём
отрезке [a,b] – это приближение оказалось функцией класса Cm[a,b].
Определение 1.1. Сплайном порядка m степени n на отрезке [a,b]
называют функцию ϕ класса Cm[a,b], которая на каждом частичном отрезке
разбиения [xi-1,xi] совпадает с некоторым многочленом степени не выше n :
ϕ(x) = ϕ i (x) = a0(i) + a1(i) x + ... + an(i) x n , x i-1 ≤x ≤x i , i = 1, 2, ... , N (1.2)
(с изменением i коэффициенты многочлена, вообще говоря, меняются, что и
отмечено верхним символом (i) в обозначении коэффициентов). При этом, если в
точках (1.1) значения ϕ совпадают со значениями заданной на [a,b] функции f
ϕ(x i) = f(x i) , i = 0, 1, ... , N , (1.3)
то сплайн называют интерполяционным для f.
Замечание 1.2. Чаще всего используют сплайны 2-го порядка 3-й степени;
такие сплайны называют кубическими. Выбор значения m=2 объясняется в том
числе и тем, что при движении обрабатывающего инструмента в станках с
числовым программным управлением (ЧПУ) по дважды непрерывно
дифференцируемой кривой удаётся избежать ударных нагрузок, которые в силу 2-
2
