ВУЗ:
Составители:
3
го закона Ньютона возникали бы в случае разрывов 2-й производной и которые
могли бы привести к разрушению обрабатывающего инструмента или
обрабатываемой поверхности. Значение же n=3 - минимальное значение,
обеспечивающее существование интерполяционного сплайна класса C
2
[a,b] при
любом наборе {f(x
i
)} значений функции f в узлах (1.1).
Локальное представление (1.2) кубического сплайна имеет вид :
ϕ
i
(x) = a
0
(i)
+ a
1
(i)
x + a
2
(i)
x
2
+ a
3
(i)
x
3
, x
i-1
≤ x ≤ x
i
, i = 1, 2, ... , N , (1.4)
поэтому для задания кубического сплайна следует задать 4N коэффициентов a
j
(i)
.
Выбор этих коэффициентов должен быть подчинён, во - первых, условиям
интерполяционности (1.3) , которые в данном случае могут быть записаны ( см.
рис . 1.1 ) в виде системы линейных алгебраических уравнений
a
0
(1)
+ a
1
(1)
x
0
+ a
2
(1)
x
0
2
+ a
3
(1)
x
0
3
= f(x
0
) , (1.5)
a
0
( i )
+ a
1
( i )
x
i
+ a
2
( i )
x
i
2
+ a
3
( i )
x
i
3
= f(x
i
) , i = 1, 2, ... , N-1 , (1.6)
a
0
(i+1)
+a
1
(i+1)
x
i
+ a
2
(i+1)
x
i
2
+ a
3
(i+1)
x
i
3
= f(x
i+1
)
,
i = 1, 2, ... , N-1 , (1.7)
a
0
(N)
+ a
1
(N)
x
i
+ a
2
( N )
x
i
2
+ a
3
( N )
x
i
3
= f(x
N
) , (1.8)
и, во - вторых, условиям гладкости, для вывода которых следует дважды
продифференцировать (1.4) :
ϕ
i
′
(x) = a
1
(i)
+ 2a
2
(i)
x +3a
3
(i)
x
2
, x
i-1
≤ x ≤ x
i
,
ϕ
i
″(x)
= 2a
2
(i)
+ 6a
3
(i)
x , x
i-1
≤ x ≤ x
i
,
а затем приравнять во всех внутренних узлах x
i
значения первых и вторых
производных соседних многочленов ϕ
i
, ϕ
i+1
:
a
1
( i )
+ 2a
2
( i )
x
i
+ 3a
3
( i )
x
i
2
= a
1
(i+1)
+ 2a
2
(i+1)
x
i
+ 3a
3
(i+1)
x
i
2
, i = 1, 2, ... , N-1 , (1.9)
2a
2
( i )
+ 6a
3
( i )
x
i
=
2a
2
(i+1)
+ 6a
3
(i+1)
x
i
, i = 1, 2, ... , N-1 . (1.10)
го закона Ньютона возникали бы в случае разрывов 2-й производной и которые
могли бы привести к разрушению обрабатывающего инструмента или
обрабатываемой поверхности. Значение же n=3 - минимальное значение,
обеспечивающее существование интерполяционного сплайна класса C2[a,b] при
любом наборе {f(x i)} значений функции f в узлах (1.1).
Локальное представление (1.2) кубического сплайна имеет вид:
ϕ i (x) = a0(i) + a1(i) x + a2(i) x2 + a3(i) x3 , x i-1 ≤x ≤x i , i = 1, 2, ... , N , (1.4)
поэтому для задания кубического сплайна следует задать 4N коэффициентов a j(i).
Выбор этих коэффициентов должен быть подчинён, во-первых, условиям
интерполяционности (1.3) , которые в данном случае могут быть записаны ( см.
рис. 1.1 ) в виде системы линейных алгебраических уравнений
a0(1) + a1(1) x0 + a2(1) x02 + a3(1) x03 = f(x0) , (1.5)
a0( i ) + a1( i ) x i + a2( i ) x i2 + a3( i ) x i3 = f(xi) , i = 1, 2, ... , N-1 , (1.6)
a0(i+1)+a1(i+1)x i+ a2(i+1)xi2 + a3(i+1)xi3 = f(xi+1) , i = 1, 2, ... , N-1 , (1.7)
a0(N) + a1(N) x i+ a2( N )xi2 + a3( N )xi3 = f(xN) , (1.8)
и, во-вторых, условиям гладкости, для вывода которых следует дважды
продифференцировать (1.4) :
′
ϕ i (x) = a1(i) + 2a2(i) x +3a3(i) x2 , x i-1 ≤x ≤x i ,
ϕ i″(x) = 2a2(i) + 6a3(i) x , x i-1 ≤x ≤x i ,
а затем приравнять во всех внутренних узлах x i значения первых и вторых
производных соседних многочленов ϕ i , ϕ i+1 :
a1( i ) + 2a2( i ) x i + 3a3( i ) x i 2 = a1(i+1) + 2a2(i+1) x i + 3a3(i+1) x i 2 , i = 1, 2, ... , N-1 , (1.9)
2a2( i ) + 6a3( i ) x i = 2a2(i+1) + 6a3(i+1) x i , i = 1, 2, ... , N-1 . (1.10)
3
