Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Замечание 1.3. Система (1.5)-(1.10) есть система линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных a
j
(i)
, причём число неизвестных 4N
превосходит число уравнений 4N-2 . Для того, чтобы число уравнений стало
равным числу неизвестных, нужно добавить два дополнительных условия . Мы не
станем здесь выписывать эти дополнительные уравнения , поскольку выбор
коэффициентов a
j
(i)
в качестве параметров сплайна, естественный и наглядный с
теоретической точки зрения , на практике оказывается нерациональным: при
выборе в качестве параметров других характеристик сплайна, а именно значений
s
i
= ϕ″(x
i
) , i = 0, 1, ... , N (1.11)
вторых производных сплайна в узлах x
i
, задача построения интерполяционного
кубического сплайна после простых аналитических преобразований сведётся к
решению линейной системы с существенно меньшим количеством неизвестных и
более простой матрицей .
2
0
. Вывод системы уравнений для нахождения параметров s
i
.
Обозначим через h
i
длину i-го отрезка разбиения
h
i
= x
i
- x
i-1
. (2.1)
Задача 2.1. Построить многочлен третьей степени, значения которого в
точках x
i-1
, x
i
равны f(x
i-1
), f(x
i
)
ϕ
i
(x
i-1
) = f(x
i-1
) , ϕ
i
(x
i
) = f(x
i
) , (2.2)
а значения второй производной – величинам s
i-1
, s
i
ϕ
i
″(x
i-1
) = s
i-1
, ϕ
i
″(x
i
) = s
i
. (2.3)
Решение. Составим для функции f по узлам x
i-1
, x
i
интерполяционный
многочлен первой степени
значения которого в точках x
i-1
, x
i
равны f(x
i-1
), f(x
i
) , а значения второй
производной – нулю.
Затем прибавим к этому многочлену многочлен третьей степени
,
h
xx
)x(f
h
xx
)x(f
xx
xx
)x(f
xx
xx
)x(f)x(p
i
1i
i
i
i
1i
1ii
1i
i
i1i
i
1i1,i
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
+
−
−
=
,
h
)xx(
s
h
)xx(
s
6
1
i
3
1i
i
i
3
i
1i
−
+
−
−
−
      Замечание 1.3. Система (1.5)-(1.10) есть система линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных        a j(i) , причём число неизвестных 4N
превосходит число уравнений 4N-2 . Для того, чтобы число уравнений стало
равным числу неизвестных, нужно добавить два дополнительных условия. Мы не
станем здесь выписывать эти дополнительные уравнения, поскольку выбор
коэффициентов aj(i) в качестве параметров сплайна, естественный и наглядный с
теоретической точки зрения, на практике оказывается нерациональным: при
выборе в качестве параметров других характеристик сплайна, а именно значений

                                              s i = ϕ″(x i)       ,         i = 0, 1, ... , N                           (1.11)

вторых производных сплайна в узлах x i , задача построения интерполяционного
кубического сплайна после простых аналитических преобразований сведётся к
решению линейной системы с существенно меньшим количеством неизвестных и
более простой матрицей.


      20. Вывод системы уравнений для нахождения параметров s i .


      Обозначим через h i длину i-го отрезка разбиения

                                                     hi = x i - x i-1 .                                                     (2.1)

     Задача 2.1. Построить многочлен третьей степени, значения которого в
точках x i-1, x i равны f(x i-1), f(x i)

                              ϕ i (x i-1) = f(x i-1) ,       ϕ i (x i) = f(x i)        ,                                    (2.2)

а значения второй производной – величинам s i-1, s i

                               ϕ i″(x i-1) = s i-1       ,    ϕ i″(x i ) = s i .                                        (2.3)

     Решение. Составим для функции f по узлам x i-1, x i интерполяционный
многочлен первой степени
                               x−x i                     x−x i −1                      x i −x                x−x i −1
   pi,1 ( x ) =f ( x i −1 )                 +f ( x i )                 =f ( x i −1 )            +f ( x i )              ,
                              x i −1 −x i                x i −x i −1                       hi                  hi

значения которого в точках x i-1, x i равны f(x i-1), f(x i) , а значения второй
производной – нулю.
     Затем прибавим к этому многочлену многочлен третьей степени

                   1�          (x i −x) 3      (x −x i −1) 3 �
                      � s i −1            +s i                 � ,
                   6�              hi              hi           ��
                       �
                                                                                                                                4

Страницы