Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Затем , увеличивая в (2.7) индекс i на единицу и опять полагая x = x
i
, получим
Наконец , приравнивая выражения (2.8), (2.9), приходим к записи условий (2.6) в
виде системы уравнений
h
i
s
i-1
+ 2 ( h
i
+ h
i+1
) s
i
+ h
i+1
s
i+1
= ν
i
, i = 1, 2, ... , N-1 , (2.10)
где ν
i
– заданные правые части вида
Непрерывность же второй производной функции ϕ в точках x
i
следует из
того, что по построению многочленов ϕ
i
вторые производные ϕ′′
i
, ϕ′′
i+1
соседних многочленов ϕ
i
, ϕ
i+1
принимают в точке x
i
одно и то же значение s
i
.
Итак , доказана
Теорема 2.2. Для того, чтобы формулы (2.5) давали локальные
представления интерполяционного кубического сплайна для функции f ,
необходимо и достаточно, чтобы фигурирующие в них величины s
i
, i = 0, 1, ... ,
N удовлетворяли системе (2.10) с правыми частями (2.11).
Замечание 2.3. Система (2.10) есть система N-1 уравнений с N+1
неизвестным. Для того, чтобы сделать число уравнений равным числу
неизвестных, следует задать два дополнительных условия . Эти условия могут
быть двух типов –начальными и краевыми.
3
0
. Кубический сплайн с начальными условиями.
Простейший способ замкнуть систему (2.10) – задать значения s
0
, s
1
. В
результате получим систему
s
0
= γ , s
1
= δ (3.1)
h
i
s
i-1
+ 2 ( h
i
+ h
i+1
) s
i
+ h
i+1
s
i+1
= ν
i
, i = 1, 2, ... , N-1 .
(3.2)
[]
)8.2(.ss
6
h
sh
2
1
h
)x(f)x(f
)x('
i1i
i
ii
i
1ii
ii
+−−+
−
=ϕ
−
−
[]
)9.2(.ss
6
h
sh
2
1
h
)x(f)x(f
)x('
1ii
1i
i1i
1i
i1i
i1i +
+
+
+
+
+
+−−−
−
=ϕ
)11.2(.
h
)x(f)x(f
h
)x(f)x(f
6
i
1ii
1i
i1i
i
−
−
−
=ν
−
+
+
                              f ( x i ) −f ( x i −1 )
              ϕ' i (x i ) =
                                          hi
                                                             1
                                                            + hi si −
                                                             2
                                                                      hi
                                                                      6
                                                                                 [
                                                                         −s i −1 + s i                  ]   .            ( 2.8)


Затем, увеличивая в (2.7) индекс i на единицу и опять полагая x = x i , получим
                                  f ( x i +1 ) −f ( x i )
              ϕ 'i +1 ( x i ) =
                                          h i +1
                                                             1
                                                            − h i +1 s i −
                                                             2
                                                                           h i +1
                                                                            6
                                                                                        [
                                                                                  −s i +s i +1              ]       .    ( 2.9)


Наконец, приравнивая выражения (2.8), (2.9), приходим к записи условий (2.6) в
виде системы уравнений

              h i s i-1 + 2 ( h i + h i+1 ) s i + h i+1 s i+1 = ν i ,                     i = 1, 2, ... , N-1 ,         (2.10)

где ν i – заданные правые части вида

                                           � f ( x i +1 ) −f ( x i )       f ( x i ) −f ( x i −1 ) �
                              νi = 6 �                                 −                            �           .       ( 2.11)
                                           �          h i +1                         hi             �

      Непрерывность же второй производной функции ϕ в точках x i следует из
того, что по построению многочленов ϕ i вторые производные ϕ′′i , ϕ′′ i+1
соседних многочленов ϕ i , ϕ i+1 принимают в точке x i одно и то же значение s i .
      Итак, доказана
      Теорема 2.2. Для того, чтобы формулы (2.5) давали локальные
представления интерполяционного кубического сплайна для функции f ,
необходимо и достаточно, чтобы фигурирующие в них величины s i , i = 0, 1, ... ,
N удовлетворяли системе (2.10) с правыми частями (2.11).
      Замечание 2.3. Система (2.10) есть система N-1 уравнений с N+1
неизвестным. Для того, чтобы сделать число уравнений равным числу
неизвестных, следует задать два дополнительных условия. Эти условия могут
быть двух типов –начальными и краевыми.


     30. Кубический сплайн с начальными условиями.


      Простейший способ замкнуть систему (2.10) – задать значения s0, s1 . В
результате получим систему

          s0 = γ , s1 = δ                                                                                                (3.1)

          h i s i-1 + 2 ( h i + h i+1 ) s i + h i+1 s i+1 = ν i ,                i = 1, 2, ... , N-1 .                   (3.2)


                                                                                                                             6

Страницы