Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Уравнение (3.10) имеет два различных корня
соответственно получаем два различных решения подсистемы (3.8)
А так как система (3.8) – линейная и однородная , ей удовлетворяет и любая
линейная комбинация этих решений
с независящими от i константами C
1
, C
2
, т.е. любой набор чисел вида
ε
i
= C
1
q
1
i
+ C
2
q
2
i
, i = 0, 1, .... , N (3.12)
( здесь и далее скобки в обозначении (q
1
)
i
, (q
2
)
i
i-тых степеней чисел q
1
, q
2
опускаем ).
Фигурирующие в формуле (3.12) константы C
1
, C
2
ищем из начальных
условий (3.7). Подстановка туда величин ε
0
, ε
1
даёт
C
1
+ C
2
= ∆γ , C
1
q
1
+ C
2
q
2
= 0 ,
откуда для этих констант получаем значения
Итак , решение системы (3.7), (3.8) имеет вид
где q
1
, q
2
- вещественные числа, заданные формулами (3.11).
Оценим величину ε
i
при i = N = 100 . Согласно (3.11), (3.14) имеем
Первое слагаемое в квадратных скобках пренебрежимо мало: его модуль равен
примерно 6,9⋅10
–
57
, тогда как модуль второго примерно равен 1,2⋅10
56
. Такой
порядок модулей объясняется тем , что в качестве множителей в этих слагаемых
)11.3(,32q,32q
21
−−=+−=
(
)
{
}
(
)
{
}
.q,q
N
0i
i
2
N
0i
i
1
==
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
i
22
i
11
i
22
i
11
qCqCqCqC +=+
)31.3(.
qq
q
C,
qq
q
C
21
1
2
12
2
1
γ∆
−
=γ∆
−
=
)41.3(,N,...,1,0i,q
qq
q
q
qq
q
i
2
21
1
i
1
12
2
i
=γ∆
−
+
−
=ε
() ()
.32
32
32
32
32
32
100100
100
γ∆
−−
+−
++−
−
−−
=ε
     Уравнение (3.10) имеет два различных корня

                                         q 1 =−2 + 3                             ,           q 2 =−2 − 3                        ,       (3.11)

соответственно получаем два различных решения подсистемы (3.8)

                                  {(q ) }1
                                             i
                                                 i =0
                                                     N
                                                                       ,        {(q ) }  2
                                                                                             i    N
                                                                                                  i =0
                                                                                                              .

А так как система (3.8) – линейная и однородная, ей удовлетворяет и любая
линейная комбинация этих решений

                            { } + C {(q ) } = {C (q )
                         C1 (q 1 )
                                     i
                                                     2             2
                                                                           i
                                                                                         1       1
                                                                                                         i
                                                                                                             + C2 ( q 2 )
                                                                                                                            i
                                                                                                                                }
с независящими от i константами C1, C2 , т.е. любой набор чисел вида
                              i                  i
              ε i = C 1 q1 + C 2 q 2                     ,         i = 0, 1, .... , N                                                  (3.12)
                                                                                     i               i
( здесь и далее скобки в обозначении (q1) , (q2) i-тых степеней чисел q1, q2
опускаем ).
      Фигурирующие в формуле (3.12) константы C1, C2 ищем из начальных
условий (3.7). Подстановка туда величин ε0, ε1 даёт

                    C1 + C2 = ∆γ ,                   C1q1 + C2q2 = 0 ,

откуда для этих констант получаем значения
                                 q2                                                                               q1
                        C1 =           ∆γ ,                                                      C2 =                       ∆γ .      ( 3.13)
                              q 2 −q 1                                                                         q 1 −q 2
     Итак, решение системы (3.7), (3.8) имеет вид

                     �      q2                                q1      �
             εi =�                       q1 +                    q 2 � ∆γ ,                                   i = 0 , 1 , ... , N ,
                                             i                      i
                                                                                                                                      (3.14)
                     � q 2 −q1                           q1 −q 2        �
                      �                                                   �

где q1, q2 - вещественные числа, заданные формулами (3.11).
      Оценим величину ε i при i = N = 100 . Согласно (3.11), (3.14) имеем

                 � −2− 3                                                                                                �
         ε100 = �                 (−2 + 3 )            � ∆γ .
                                                             100
                                                                       +
                                                                               −2 + 3
                                                                                             (−2 − 3)             100


              � −2 3                   2 3              �
Первое слагаемое в квадратных скобках пренебрежимо мало: его модуль равен
                 57
примерно 6,9⋅10 – , тогда как модуль второго примерно равен 1,2⋅10 56. Такой
порядок модулей объясняется тем, что в качестве множителей в этих слагаемых

                                                                                                                                                8

Страницы