Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 9 стр.

фигурируют сотые степени чисел q1,q2 с модулем, существенно меньшим ( |q1| ≅
0,268 ) и существенно большим ( |q2| ≅3,732 ) единицы.
      Итак, отношение абсолютной величины приращения решения ∆sN = εN к
абсолютной величине приращения правой части ∆γ чрезвычайно велико

                                ∆sN
                                       >1056 ,
                                 ∆γ

причём из формулы (3.14) ясно, что с ростом N это отношение будет быстро
увеличиваться. А это и говорит о том, что задача построения интерполяционного
кубического сплайна в том случае, когда дополнительные условия – начальные,
поставлена некорректно.
      На практике эта некорректность проявляется, прежде всего, в высокой
чувствительности алгоритма к вычислительным погрешностям: допущенная на
некотором шаге алгоритма погрешность округления ( например, при вводе
значения γ в память компьютера ) распространяется на последующие шаги
алгоритма с многократным усилением и при большом N способна полностью
исказить решение. Но дело не только в этом. Некорректность математической
постановки в задаче приближения функций с абстрактной точки зрения
соответствует тому, что норма оператора, сопоставляющего исходной функции f
приближающую функцию ( в нашем случае – интерполяционный кубический
сплайн ) при больших значениях параметра задачи ( в нашем случае – параметра
N ) весьма велика. А что в таком случае происходит, мы видели на примере
глобальной интерполяции по равноотстоящей системе узлов ( см. задание 10 вып.
1 ): график приближающей функции – интерполяционного многочлена n-ой
степени – оказывается сильно колеблющейся кривой, причём с увеличением n
размах этих колебаний увеличивается, так что вместо приближения
интерполяционного многочлена к интерполируемой функции f происходит
удаление от неё. Аналогичным образом обстоит дело и в задаче построения
кубического сплайна, когда дополнительные условия - начальные.
      В заключение следует обратить внимание читателя на новый
математический объект, с которым мы встретились в данном пункте.
      Если считать εi значением функции целочисленного переменного в точке i ,
то на (3.8) можно смотреть как на уравнение, связывающее значения этой
функции в соседних точках i-1, i, i+1 . Уравнения такого типа называют
уравнениями в конечных разностях.
      Существует глубокая аналогия между уравнениями в конечных разностях и
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
      В частности, аналогом общего линейного однородного уравнения в
конечных разностях с постоянными коэффициентами

                      d⋅ε i-1 + r⋅ε i + ε i+1 = 0 ,



                                                                             9