Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
частным случаем которого является уравнение (3.8), служит линейное однородное
дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
d⋅ε(x) + r⋅ε′(x) + ε′′(x) = 0 . (3.15)
Аналогом решений вида (3.9) в дифференциальном случае служат решения вида
После подстановки e
λΧ
в уравнение (3.15) и сокращения на e
λΧ
получают
уравнение для нахождения параметра λ:
d + r λ + λ
2
= 0 ;
если последнее уравнение имеет различные корни λ
1
, λ
2
, то общее решение
дифференциального уравнения (3.15) есть линейная комбинация
аналогичная линейной комбинации (3.12), и т.п.
Подробнее указанная аналогия описана в [1].
4
0
. Кубический сплайн с краевыми условиями.
Проведенный в предыдущем пункте анализ показывает, что при построении
интерполяционного кубического сплайна одно из двух дополнительных условий
должно задаваться на одном конце отрезка, а другое – на другом. Такие
дополнительные условия называют краевыми. При этом возможны несколько
вариантов.
Первый вариант состоит в задании вторых производных сплайна в
концевых точках отрезка
s
0
= γ , s
N
= δ . (4.1)
Если при этом в качестве γ, δ приняты нулевые значения , то сплайн называют
естественным. Последние условия являются математическим аналогом ситуации,
когда в точке плоскости ( x
0
, f(x
0
) ), ( ( x
N
, f(x
N
) ) ) рейка закреплена шарнирно , и,
значит, может свободно поворачиваться вокруг этой точки. В этом случае конец
рейки, расположенный левее x
0
( правее x
N
) , оказывается прямолинейным, и
потому на нём ϕ′′(x) ≡ 0.
Проанализируем корректность задачи нахождения параметров s
i
в случае
условий (4.1), предположив узлы равноотстоящими: h
i
= h.
.e)x(
X λ
=ε
,eCeC
x
2
x
1
21
λλ
+
частным случаем которого является уравнение (3.8), служит линейное однородное
дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

                         d⋅ε(x) + r⋅ε′(x) + ε′′(x) = 0 .                        (3.15)

Аналогом решений вида (3.9) в дифференциальном случае служат решения вида

                                  ε( x ) = e λX .

                    λΧ                                   λΧ
 После подстановки e в уравнение (3.15) и сокращения на e получают
уравнение для нахождения параметра λ:

                                   d + r λ + λ2 = 0 ;

если последнее уравнение имеет различные корни λ1, λ2 , то общее решение
дифференциального уравнения (3.15) есть линейная комбинация

                                           λ1 x           λ2 x
                                    C1 e          +C2 e          ,

аналогичная линейной комбинации (3.12), и т.п.
     Подробнее указанная аналогия описана в [1].


      40. Кубический сплайн с краевыми условиями.


     Проведенный в предыдущем пункте анализ показывает, что при построении
интерполяционного кубического сплайна одно из двух дополнительных условий
должно задаваться на одном конце отрезка, а другое – на другом. Такие
дополнительные условия называют краевыми. При этом возможны несколько
вариантов.
     Первый вариант состоит в задании вторых производных сплайна в
концевых точках отрезка

                              s0 = γ , sN = δ .                                  (4.1)

Если при этом в качестве γ, δ приняты нулевые значения, то сплайн называют
естественным. Последние условия являются математическим аналогом ситуации,
когда в точке плоскости ( x0, f(x0) ), ( ( xN, f(xN) ) ) рейка закреплена шарнирно, и,
значит, может свободно поворачиваться вокруг этой точки. В этом случае конец
рейки, расположенный левее x0 ( правее xN ) , оказывается прямолинейным, и
потому на нём ϕ′′(x) ≡0.
      Проанализируем корректность задачи нахождения параметров s i в случае
условий (4.1), предположив узлы равноотстоящими: h i = h.
                                                                                    10

Страницы