Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Запишем систему (2.10) в виде
s
i-1
+ 4s
i
+ s
i+1
= κ
i
, i = 1, 2, ... , N-1 , (4.2)
введя обозначение
Дадим , как и прежде, правой части γ приращение ∆γ и выясним , как это
скажется на решении системы (4.1), (4.2). Рассуждая как в предыдущем пункте,
получим для приращений решения ε
i
систему уравнений
ε
0
= ∆γ , ε
N
= 0 , (4.3)
ε
i-1
+ 4ε
i
+ ε
i+1
= 0 , i = 1, 2, ... , N-1 . (4.4)
Решение этой системы попрежнему имеет вид (3.12) с величинами q
1
, q
2
,
заданными формулами (3.11). Для нахождения независящих от i коэффициентов
C
1
, C
2
полагаем в формулах (3.12) i = 0, i = N и, подставляя полученные
выражения ε
0
, ε
N
в (4.3), приходим к системе
C
1
+ C
2
= ∆γ , C
1
q
1
N
+ C
2
q
2
N
= 0 .
Подстановка найденных отсюда значений
в формулы (3.12) даёт для приращений ε
i
решения системы (4.1), (4.2)
представление
или, что то же самое, представление
В силу (3.11) отношение q
1
/q
2
положительно и строго меньше единицы.
Поэтому положителен и множитель
.
h
)x(f)x(f2)x(f
6
h
2
1ii1ii
i
+−
+
−
=
ν
=κ
)5.4(
qq
q
C,
qq
q
C
N
2
N
1
N
1
2
N
1
N
2
N
2
1
γ∆
−
=γ∆
−
=
,N,...,1,0i,q
qq
q
q
qq
q
i
2
N
2
N
1
N
1
i
1
N
1
N
2
N
2
i
=γ∆
−
+
−
=ε
)6.4(.N,...,1,0i,
q
q
1q
qq
q
iN
2
1
i
1
N
1
N
2
N
2
i
=γ∆
−
−
=ε
−
     Запишем систему (2.10) в виде

                  s i-1 + 4s i + s i+1 = κ i ,                                                  i = 1, 2, ... , N-1 ,            (4.2)

введя обозначение
                                             νi              f ( x i −1 ) −2f ( x i ) +f ( x i +1 )
                                 κi =                 =6                                                        .
                                             h                                      h2

     Дадим, как и прежде, правой части γ приращение ∆γ и выясним, как это
скажется на решении системы (4.1), (4.2). Рассуждая как в предыдущем пункте,
получим для приращений решения ε i систему уравнений

     ε 0 = ∆γ ,         εN = 0 ,                                                                                                 (4.3)

     ε i-1 + 4ε i + ε i+1 = 0 ,                            i = 1, 2, ... , N-1 .                                                 (4.4)

Решение этой системы попрежнему имеет вид (3.12) с величинами q1, q2 ,
заданными формулами (3.11). Для нахождения независящих от i коэффициентов
C1, C2 полагаем в формулах (3.12) i = 0, i = N и, подставляя полученные
выражения ε0, εN в (4.3), приходим к системе

                                C1 + C2 = ∆γ ,                          C1q1N + C2q2N = 0 .

Подстановка найденных отсюда значений
                                              N                                                             N
                                         q2                                                            q1
                            C1 =                           ∆γ           ,                   C2 =                        ∆γ       ( 4.5)
                                     q 2 −q 1                                                       q 1 −q 2
                                         N            N                                               N             N




в формулы (3.12) даёт для приращений                                                ε   i       решения системы (4.1), (4.2)
представление
            �      q2
                        N
                                                  q1
                                                       N
                                                        �
      εi = �
                                                    i �
                                 q1 + N                       ∆γ                                       i = 0, 1, ... , N
                                     i
                                                q                                           ,                                ,
            � q 2 N −q 1 N           q 1 −q 2
                                              N   2
                                                          �
             �                                              �

или, что то же самое, представление
                                                                         N −i
                            q2
                                 N                �       � q1 �                �
                εi =                     q1 �
                                              i   �   1 −�        �             � ∆γ            ,           i = 0, 1, ..., N .    ( 4.6)
                       q 2 −q 1
                            N        N
                                              �            � q2 �               ��
                                                  �         �       �           �

     В силу (3.11) отношение q1/q2 положительно и строго меньше единицы.
Поэтому положителен и множитель
                                                                                                                                     11

Страницы