Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
причём его максимальное значение, принимаемое, очевидно, при N = 1 ,
удовлетворяет неравенству
А так как абсолютные величины остальных множителей при ∆γ в формуле (4.6)
не превосходят единицы, при любых i и N имеем неравенство
| ε
i
| < 2 | ∆γ | , (4.7)
свидетельствующее о корректности задачи (4.1), (4.2).
Уместно подчеркнуть , что выражаемое неравенством (4.7) отсутствие роста
приращений ε
i
по мере увеличения N объясняется убыванием константы C
2
(см. (4.5)) при возрастании N. В случае же сплайна с начальными условиями
аналогичная константа (см. (3.13)) не зависит от N и потому не может
компенсировать рост множителя q
2
N
в выражении для ε
N
:
ε
N
= C
1
q
1
N
+ C
2
q
2
N
.
Заметим , что наше исследование корректности, конечно же, не полно: следовало
бы , рассмотрев и влияние приращений ∆δ, ∆κ
i
, установить оценку
с конечной константой K , не зависящей от N . Мы не будем заниматься
выводом такой оценки ввиду его громоздкости; отметим лишь, что она вытекает
из результатов, приведенных в [2].
Укажем теперь краевые условия другого вида
s
0
= s
1
, s
N-1
= s
N
. (4.8)
Этот сплайн называют сплайном с параболическими концевыми участками. Дело
в том, что 2-я производная кубического сплайна, будучи на произвольном отрезке
[x
i-1
,x
i
] линейной функцией ( как 2-я производная многочлена степени ≤ 3 ), на
концевых отрезках разбиения [x
0
,x
1
],[x
N-1
,x
N
] есть константа ( как линейная
,...,2,1N,
q
q
1
1
qq
q
N
2
1
N
1
N
2
N
2
=
−
=
−
.2
32
32
qq
q
12
2
<
+
=
−
}max,,{maxKmax
i
1Ni1
i
Ni0
κ∆δ∆γ∆≤ε
−≤≤≤≤
                         N
                    q2                        1
                                 =                           ,         N = 1, 2, ...   ,
                 q 2 −q 1
                   N         N                         N
                                         � q1 �
                                     1 −�        �
                                          � q2 �
                                           �       �

причём его максимальное значение, принимаемое, очевидно, при                               N = 1    ,
удовлетворяет неравенству

                                 q2               2+ 3
                                             =               <2 .
                             q 2 −q1                   2 3

А так как абсолютные величины остальных множителей при ∆γ в формуле (4.6)
не превосходят единицы, при любых i и N имеем неравенство

                                          | εi | < 2 | ∆γ| ,                                   (4.7)

свидетельствующее о корректности задачи (4.1), (4.2).
      Уместно подчеркнуть, что выражаемое неравенством (4.7) отсутствие роста
приращений εi по мере увеличения N объясняется убыванием константы C2
(см. (4.5)) при возрастании N. В случае же сплайна с начальными условиями
аналогичная константа (см. (3.13)) не зависит от N и потому не может
компенсировать рост множителя q2 N в выражении для εN :

                                 ε N = C1 q 1N + C2 q 2 N .

Заметим, что наше исследование корректности, конечно же, не полно: следовало
бы, рассмотрев и влияние приращений ∆δ, ∆κ i , установить оценку

                  max εi ≤ K max { ∆γ , ∆δ , max ∆κ i }
                  0 ≤i ≤N                                            1 ≤i ≤N −1



с конечной константой K , не зависящей от N . Мы не будем заниматься
выводом такой оценки ввиду его громоздкости; отметим лишь, что она вытекает
из результатов, приведенных в [2].
      Укажем теперь краевые условия другого вида

                       s0 = s1 ,                       sN-1 = sN .                             (4.8)

Этот сплайн называют сплайном с параболическими концевыми участками. Дело
в том, что 2-я производная кубического сплайна, будучи на произвольном отрезке
[xi-1,xi] линейной функцией ( как 2-я производная многочлена степени ≤3 ), на
концевых отрезках разбиения [x0,x1],[xN-1,xN] есть константа ( как линейная
                                                                                                   12

Страницы