Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
( смысл обозначений коэффициентов и правых частей пояснён ниже ).
Второй этап метода – обратный ход – состоит в нахождении неизвестных из
полученной системы (5.2). Именно , из последнего уравнения находим x
n
,
подставляем найденное x
n
в предпоследнее уравнение и находим из него x
n-1
, и
так далее:
Прямой ход метода реализуется в виде последовательности шагов.
В результате шагов прямого хода, предшествующих i-тому (i = 1, 2, ... , n-1)
шагу, исходная система (5.1) оказывается заменённой эквивалентной системой
A
( i )
x = b
( i )
( A
(1)
= A = [ a
i j
] , b
(1)
= b = [ b
i
] ) , (5.4)
уравнения которой с номерами m ≥ i не содержат неизвестных x
1
, x
2
, ... , x
i
– 1
:
На i-том шаге прямого хода происходит преобразование этой подсистемы.
Сначала выбираем в подсистеме (5.5) опорное уравнение – уравнение с
ненулевым коэффициентом при x
i
. Поскольку перестановка уравнений системы
очевидным образом не меняет её решений , без ограничения общности можно
считать опорным i-тое уравнение
Далее это уравнение используют для преобразования остальных уравнений
подсистемы (5.5) к виду, не содержащему неизвестного x
i
.
Именно, рассматривают m-тое уравнение подсистемы (5.5)
)n(
nn
)n(
nn
)1n(
1nn
)1n(
n1n1n
)1n(
1n1n
)2(
2n
)2(
n21n
)2(
1n22
)2(
22
)1(
1n
)1(
n11n
)1(
1n12
)1(
211
)1(
11
bxa
,bxaxa
)2.5(.......................
,bxaxa........xa
,bxaxa........xaxa
=
=+
=+++
=++++
−
−
−
−−
−
−−
−−
−−
∑
+=
−−=−==
n
1ij
)i(
iij
)i(
ji
)i(
ii
)n(
nn
)n(
nn
)3.5(.1,2,...,2n,1ni,a/)xab(x,a/bx
)5.5(.n,...,1i,im,bxa...xaxa
)i(
mn
)i(
nm1i
)i(
1im
i
)i(
im
+==+++
+
+
)6.5(.0a,bxa...xaxa
)i(
ii
)i(
i
n
)i(
ni
1i
)i(
1ii
i
)i(
ii
≠=+++
+
+
)7.5(im,bxa...xaxa
)i(
mn
)i(
nm1i
)i(
1im
i
)i(
im
>=+++
+
+
a(111) x 1 + a(112) x 2 + . . . . . . . . + a(11n) −1 x n −1 + a(11n)                                x n = b(11) ,
             a(222) x 2 + . . . . . . . . + a(22n) −1                        x n −1 + a(22n)         x n = b(22) ,
                                 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                           (5.2)
                                                                   a(nn−−11n) −1 x n −1 + a(nn−−11n) x n = b(nn−−11) ,
                                                                                           a(nnn)     x n = b(nn)

( смысл обозначений коэффициентов и правых частей пояснён ниже ).
      Второй этап метода – обратный ход – состоит в нахождении неизвестных из
полученной системы (5.2). Именно, из последнего уравнения находим x n ,
подставляем найденное x n в предпоследнее уравнение и находим из него x n-1 , и
так далее:

                                                     n
  x n = b(nn ) / a(nnn) , x i = ( b(ii ) −         ∑a
                                                  j =i +1
                                                            (i )
                                                            ij     x j ) / a(iii) , i = n −1 , n −2 , ..., 2 , 1.        ( 5.3)


      Прямой ход метода реализуется в виде последовательности шагов.
      В результате шагов прямого хода, предшествующих i-тому (i = 1, 2, ... , n-1)
шагу, исходная система (5.1) оказывается заменённой эквивалентной системой
            (i)
        A         x = b(i)         ( A (1) = A = [ a i j ] ,                  b (1) = b = [ b i ] ) ,                    (5.4)

уравнения которой с номерами m ≥i не содержат неизвестных x1, x2, ... , x i – 1 :

  a (mi )i x i +a (mi )i +1 x i +1 +... +a (mi )n x n = b (mi )                ,       m = i, i +1, ... , n .            (5.5)

     На i-том шаге прямого хода происходит преобразование этой подсистемы.
     Сначала выбираем в подсистеме (5.5) опорное уравнение – уравнение с
ненулевым коэффициентом при x i . Поскольку перестановка уравнений системы
очевидным образом не меняет её решений, без ограничения общности можно
считать опорным i-тое уравнение

        a i( ii ) x i +a i( ii +) 1 x i +1 +... +a i( in) x n = b i( i )           ,       a i( ii ) ≠ 0 .           (5.6)

Далее это уравнение используют для преобразования остальных уравнений
подсистемы (5.5) к виду, не содержащему неизвестного x i .
     Именно, рассматривают m-тое уравнение подсистемы (5.5)
                  a (mi )i x i +a (mi )i +1 x i +1 +... +a (mi )n x n = b (mi )        ,            m >i             (5.7)
                                                                                                                            14

Страницы