Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Замечание 5.1. Поскольку всякий набор неизвестных, удовлетворяющий
паре уравнений (5.6), (5.7), удовлетворяет паре (5.6), (5.8) и наоборот, прямой ход
метода не изменяет решение системы. Поэтому вычисленные по формулам (5.3)
значения неизвестных дают решение исходной системы (5.1).
Замечание 5.2. Обычно во избежание нежелательного роста (или убывания )
абсолютных величин коэффициентов в результате перекрёстного умножения
уравнений выбранное опорное уравнение (5.6) нормируют, т.е. делят на опорный
коэффициент i-того шага a
i
i
(
i
)
и именно в таком виде используют для исключения x
i
из уравнения (5.7).
Поскольку коэффициент при x
i
в уравнении (5.13) равен единице, описанный
выше процесс исключения x
i
сведётся к умножению нормированного опорного
уравнения (5.13) на коэффициент a
m i
(
i
)
и вычитанию результата из уравнения
(5.7) В результате m-тое уравнение подсистемы (5.5) ( m > i ) заменится
уравнением (5.8) с коэффициентами и правой частью
Исключения такого типа называют исключениями Гаусса, а вариант метода
последовательного исключения неизвестных, прямой ход которого использует эти
исключения – методом Гаусса.
Замечание 5.3. Если в формулах (5.14) выделить независящие от j
величины
то формулы (5.14) примут вид
В силу этих формул m-тая строка ( m > i ) матрицы A
(
i+1
)
системы (5.12)
находится путем прибавления к m-той строке матрицы A
(
i
)
предшествующей
системы (5.4) её i-той строки, умноженной на число l
m i
. А так как такие
преобразования оставляют определитель матрицы неизменным, справедлив
вывод: исключения Гаусса не меняют определителя матрицы. В силу этого
свойства в ситуации, когда при выборе опорных уравнений (5.6) переставлять
уравнения не приходилось ( такой подвариант метода Гаусса называют схемой
)13.5(,
a
b
x
a
a
...x
a
a
x
)i(
ii
)i(
i
n
)i(
ii
)i(
ni
1i
)i(
ii
)i(
1ii
i
=+++
+
+
)14.5(.
a
b
abb,n,...,1ij,
a
a
aaa
)i(
ii
)i(
i
)i(
im
)i(
m
)1i(
m
)i(
ii
)i(
ji
)i(
im
)i(
jm
)1i(
jm
−=+=−=
++
)15.5(,a/al
)i(
ii
)i(
im
im
=
)16.5(.blbb,n,...,1ij,alaa
)i(
i
im
)i(
m
)1i(
m
)i(
ji
im
)i(
jm
)1i(
jm
−=+=−=
++
      Замечание 5.1. Поскольку всякий набор неизвестных, удовлетворяющий
паре уравнений (5.6), (5.7), удовлетворяет паре (5.6), (5.8) и наоборот, прямой ход
метода не изменяет решение системы. Поэтому вычисленные по формулам (5.3)
значения неизвестных дают решение исходной системы (5.1).
      Замечание 5.2. Обычно во избежание нежелательного роста (или убывания )
абсолютных величин коэффициентов в результате перекрёстного умножения
уравнений выбранное опорное уравнение (5.6) нормируют, т.е. делят на опорный
                               (i)
коэффициент i-того шага a i i

                                                            a (i ii +
                                                                    )
                                                                      1                   a (i in)               b (i i )
                                                     xi +                 x i +1 +... +                xn =                      ,                     (5.13)
                                                             a (iii)                      a (i ii )              a (i ii )

и именно в таком виде используют для исключения x i из уравнения (5.7).
Поскольку коэффициент при x i в уравнении (5.13) равен единице, описанный
выше процесс исключения x i сведётся к умножению нормированного опорного
                                      (i)
уравнения (5.13) на коэффициент a m i     и вычитанию результата из уравнения
(5.7) В результате m-тое уравнение подсистемы (5.5) ( m > i ) заменится
уравнением (5.8) с коэффициентами и правой частью

                                         a (i ij)                                                                                        b (i i )
a (mi +j1 )   =   a (mi )j   −a (mi )i                , j = i+1, ... , n ,                      b (mi +1 )   =    b (mi )    −a (mi )i               . (5.14)
                                         a (i ii )                                                                                       a (i ii )

Исключения такого типа называют исключениями Гаусса, а вариант метода
последовательного исключения неизвестных, прямой ход которого использует эти
исключения – методом Гаусса.
     Замечание 5.3. Если в формулах (5.14) выделить независящие от j
величины

                                                          l m i = a (mi )i / a (i ii )      ,                                                           (5.15)

то формулы (5.14) примут вид

a (mi +j1 ) = a (mi )j −l m i a (i ij)                ,      j = i +1, ... , n ,                      b (mi +1 ) = b (mi ) −l m i b (i i ) . (5.16)

                                                                                                                             (       )
В силу этих формул m-тая строка ( m > i ) матрицы A i+1 системы (5.12)
                                                      (i)
находится путем прибавления к m-той строке матрицы A      предшествующей
системы (5.4) её i-той строки, умноженной на число l m i . А так как такие
преобразования оставляют определитель матрицы неизменным, справедлив
вывод: исключения Гаусса не меняют определителя матрицы. В силу этого
свойства в ситуации, когда при выборе опорных уравнений (5.6) переставлять
уравнения не приходилось ( такой подвариант метода Гаусса называют схемой

                                                                                                                                                           16

Страницы