Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
единственного деления ), для нахождения определителя матрицы исходной
системы (5.1) достаточно перемножить диагональные коэффициенты системы
(5.2):
если же такие перестановки имели место , то указанное произведение следует
домножить на (- 1 )
k
, где k – число перестановок. При больших n такой способ
вычисления определителей требует существенно меньшего числа арифметических
операций , чем вычисления по общим формулам для определителя, которые
даются в курсах алгебры .
Замечание 5.4. При практической реализации метода Гаусса процесс
исключения неизвестных на i-том шаге прямого хода начинается с вычисления
величин (5.15) для m = i+1, i+2, ... , n . Эти величины – множители i- того шага –
записываются в i-тый столбец двумерного массива коэффициентов и правых
частей системы на места соответствующих коэффициентов a
m i
( i )
, m = i+1, ... , n.
Затем по формулам (5.16) вычисляются величины a
m j
(i+1)
,b
m
(
i+1)
и записываются
на места a
m
j
(
i
)
, b
m
(
i
)
. В результате после выполнения прямого хода в указанном
двумерном массиве окажутся коэффициенты и правые части системы (5.2) и
множители l
m
i
. Запоминание этих множителей полезно в том случае , если в
дальнейшем придётся решать систему (5.1) с теми же коэффициентами a
i
j
, но с
другими правыми частями b
i
. В этом случае при вторичном решении системы
придётся лишь пересчитать правые части по формулам (5.16), а затем найти
новые значения неизвестных по формулам (5.3).
Замечание 5.5. Опорное уравнение (5.10) в системе (5.10)-(5.11) можно
заменить нормированным опорным уравнением (5.13); диагональные
коэффициенты при неизвестных в системе (5.2) окажутся при этом равными
единице.
6
0
. Метод прогонки решения трёхдиагональных систем .
Применим описанный в предыдущем пункте метод решения линейных
систем для нахождения параметров s
i
интерполяционного кубического сплайна.
Заметим , что система (2.9) с краевыми условиями указанных ранее типов
принадлежит классу систем вида
;aaa...aaAdet
n
1i
)i(
ii
)n(
nn
)1n(
1n1n
)2(
22
)1(
11
∏
=
−
−−
==
единственного деления ), для нахождения определителя матрицы исходной
системы (5.1) достаточно перемножить диагональные коэффициенты системы
(5.2):

                                                                     n
                det A = a (111) a (222) ... a (nn−−11n)−1 a (nnn) = ∏ a (i ii ) ;
                                                                   i =1


если же такие перестановки имели место, то указанное произведение следует
                    k
домножить на (- 1 ) , где k – число перестановок. При больших n такой способ
вычисления определителей требует существенно меньшего числа арифметических
операций, чем вычисления по общим формулам для определителя, которые
даются в курсах алгебры.
      Замечание 5.4. При практической реализации метода Гаусса процесс
исключения неизвестных на i-том шаге прямого хода начинается с вычисления
величин (5.15) для m = i+1, i+2, ... , n . Эти величины – множители i-того шага –
записываются в i-тый столбец двумерного массива коэффициентов и правых
частей системы на места соответствующих коэффициентов a m i ( i ), m = i+1, ... , n.
                                                       (i+1)    ( i+1)
Затем по формулам (5.16) вычисляются величины am j          ,bm        и записываются
             (i)    (i)
на места am j , b m . В результате после выполнения прямого хода в указанном
двумерном массиве окажутся коэффициенты и правые части системы (5.2) и
множители l m i . Запоминание этих множителей полезно в том случае, если в
дальнейшем придётся решать систему (5.1) с теми же коэффициентами a i j , но с
другими правыми частями b i . В этом случае при вторичном решении системы
придётся лишь пересчитать правые части по формулам (5.16), а затем найти
новые значения неизвестных по формулам (5.3).
      Замечание 5.5. Опорное уравнение (5.10) в системе (5.10)-(5.11) можно
заменить нормированным опорным уравнением (5.13); диагональные
коэффициенты при неизвестных в системе (5.2) окажутся при этом равными
единице.


      60. Метод прогонки решения трёхдиагональных систем.


     Применим описанный в предыдущем пункте метод решения линейных
систем для нахождения параметров s i интерполяционного кубического сплайна.
Заметим, что система (2.9) с краевыми условиями указанных ранее типов
принадлежит классу систем вида




                                                                                    17

Страницы