Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
и производят перекрёстное умножение уравнений (5.6),(5.7) на коэффициенты
при неизвестном x
i
: уравнение (5.6) умножают на коэффициент a
m i
(i)
при x
i
в
в уравнении (5.7)
а уравнение (5.7) – на коэффициент a
i i
(i)
при x
i
в уравнении (5.6)
Затем в полученной паре уравнений ( ∗ ), ( ∗∗ ) вычитают из нижнего уравнения
верхнее и в результате приходят к уравнению
с коэффициентами и правой частью
не содержащему неизвестного x
i
.
Описанная процедура называется исключением неизвестного x
i
из m-
того уравнения подсистемы (5.5). После того, как такое исключение произведено
для всех m = i+1, i+2, ... , n , рассматриваемый i-тый шаг прямого хода считается
завершённым. В результате подсистема (5.5) сведена к подсистеме
состоящей из опорного уравнения i-го шага (5.6) и уравнений (5.8) с
коэффициентами и правыми частями (5.9), не содержащих неизвестного x
i
, а вся
исходная система уравнений (5.1) – к системе
1-е, 2-е, ... , i-тое уравнения которой, как ясно из приведенного выше описания i-
того шага, есть опорные уравнения 1-го, 2-го, ... , i-того шагов, а остальные
уравнения образуют подсистему (5.11) уравнений , не содержащих неизвестных
x
1
, x
2
, ... , x
i
.
После выполнения всех n–1 шагов прямого хода получаем систему (5.2) с
верхней треугольной матрицей , первые n-1 уравнений которой есть опорные
уравнения 1-го, 2-го, ... , (n-1)-го шагов прямого хода.
)(,baxaa...xaaxaa
)i(
i
)i(
im
n
)i(
ni
)i(
im
1i
)i(
1ii
)i(
im
i
)i(
ii
)i(
im
∗=+++
+
+
)(.baxaa...xaaxaa
)i(
m
)i(
ii
n
)i(
nm
)i(
ii
1i
)i(
1im
)i(
ii
i
)i(
im
)i(
ii
∗∗=+++
+
+
)8.5(im,bxa...xaxa
)1i(
mn
)1i(
nm2i
)1i(
2im
1i
)1i(
1im
>=+++
++
+
+
+
+
+
+
)9.5(,babab,n,...,2i,1ij,aaaaa
)i(
i
)i(
im
)i(
m
)i(
ii
)1i(
m
)i(
ji
)i(
im
)i(
jm
)i(
ii
)1i(
jm
−=++=−=
++
)11.5(,n,...,1im,bxa...xaxa
)10.5(,0a,bxa...xaxaxa
)1i(
mn
)1i(
nm2i
)1i(
2im
1i
)1i(
1im
)i(
ii
)i(
i
n
)i(
ni
2i
)i(
2ii
1i
)i(
1ii
i
)i(
ii
+==+++
≠=++++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
)12.5(,bxA
)1i()1i( ++
=
и производят перекрёстное умножение уравнений (5.6),(5.7) на коэффициенты
при неизвестном x i : уравнение (5.6) умножают на коэффициент am i(i) при x i в
в уравнении (5.7)

      a (mi )i a i( ii ) x i +a (mi )i a i( ii +) 1 x i +1 +... +a (mi )i a i( in) x n = a (mi )i b i( i )   ,                 ( ∗)

а уравнение (5.7) – на коэффициент a i i(i) при x i в уравнении (5.6)

        a (i ii ) a (mi )i x i +a (i ii ) a (mi )i +1 x i +1 +... +a (i ii ) a (mi )n x n = a (i ii ) b (mi ) .              ( ∗∗)

Затем в полученной паре уравнений ( ∗), ( ∗∗) вычитают из нижнего уравнения
верхнее и в результате приходят к уравнению

        a (mi +i1+)1 x i +1 +a (mi +i1+)2 x i +2 +... +a (mi +n1 ) x n = b (mi +1 )             ,        m >i                 (5.8)

с коэффициентами и правой частью

a (mi +j1 ) =a (i ii ) a (mi )j −a (mi )i a (i ij) , j =i+1, i +2, ... , n , b (mi +1 ) =a (i ii ) b (mi ) −a (mi )i b (i i ) , (5.9)

не содержащему неизвестного x i .
      Описанная процедура называется исключением неизвестного x i из m-
того уравнения подсистемы (5.5). После того, как такое исключение произведено
для всех m = i+1, i+2, ... , n , рассматриваемый i-тый шаг прямого хода считается
завершённым. В результате подсистема (5.5) сведена к подсистеме
a (i ii ) x i +a (i ii +
                       )
                         1 x i +1 +a i i +2 x i +2 +... +a i n x n =b i
                                     (i)                   (i)       (i)
                                                                                          ,         a (i ii ) ≠0 ,          (5.10)
            a (mi +i1+)1 x i +1 +a (mi +i1+)2 x i +2 +... +a (mi +n1) x n =b (mi +1) ,              m =i+1, ... , n ,       (5.11)

состоящей из опорного уравнения         i-го шага (5.6) и уравнений (5.8) с
коэффициентами и правыми частями (5.9), не содержащих неизвестного x i , а вся
исходная система уравнений (5.1) – к системе
                                                    A (i +1) x = b (i +1)            ,                                      (5.12)
1-е, 2-е, ... , i-тое уравнения которой, как ясно из приведенного выше описания i-
того шага, есть опорные уравнения 1-го, 2-го, ... , i-того шагов, а остальные
уравнения образуют подсистему (5.11) уравнений, не содержащих неизвестных
x1, x2, ... , x i .
       После выполнения всех n–1 шагов прямого хода получаем систему (5.2) с
верхней треугольной матрицей, первые n-1 уравнений которой есть опорные
уравнения 1-го, 2-го, ... , (n-1)-го шагов прямого хода.


                                                                                                                                  15

Страницы