Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Алгоритм решения такой системы чрезвычайно прост – он сводится к
вычислениям по рекуррентной формуле
s
0
= γ , s
1
= δ , s
i+1
= (1/h
i+1
) ( ν
i
– h
i
s
i-1
− 2( h
i
+ h
i+1
) s
i
) , i = 1, 2, ... , N-1.
Однако при больших N хороших сплайн- приближений на этом пути не
получается, поскольку задача (3.1) – (3.2) является некорректно поставленной.
Напомним , что под корректностью математической задачи понимают
ситуацию , когда изменение решения , вызванное изменением данных задачи,
имеет тот же порядок малости , что и изменение входных данных. Покажем , что в
случае системы (3.1) – (3.2) это как раз и не имеет места.
Дадим правой части γ в (3.1) приращение ∆γ и выясним , как это скажется
на решении системы. Обозначим новое решение через s = {s
i
} ; это решение
удовлетворяет системе
s
0
= γ+∆γ , s
1
= δ , (3.3)
h
i
s
i-1
+ 2( h
i
+ h
i+1
)s
i
+ h
i+1
s
i+1
= ν
i
, i = 1, 2, ... , N-1 . (3.4)
Вычитание уравнений (3.1), (3.2) из соответствующих уравнений системы (3.3),
(3.4) даёт для приращения решения ε = { ε
i
} = {s
i
– s
i
} систему уравнений
ε
0
= ∆γ , ε
1
= 0 , (3.5)
h
i
ε
i-1
+ 2( h
i
+ h
i+1
) ε
i
+ h
i+1
ε
i+1
= 0 , i = 1, 2, ... , N-1 . (3.6)
Проанализируем эту систему, предположив для простоты , что узлы x
i
являются равноотстоящими, а, значит, что величины h
i
не зависят от i : h
i
= h.
Система (3.5), (3.6) примет при этом вид
ε
0
= ∆γ , ε
1
= 0 , (3.7)
ε
i-1
+ 4ε
i
+ ε
i+1
= 0 , i = 1, 2, ... , N-1 . (3.8)
Сначала выпишем решение подсистемы (3.8) .
Будем искать его в виде
ε
i
= q
i
, i = 0, 1, ... , N , (3.9)
где q – параметр, подлежащий определению . Подстановка (3.9) в (3.8) и
сокращение на q
i-1
дают для нахождения q уравнение
1 + 4q + q
2
= 0 . (3.10) 
Алгоритм решения такой системы чрезвычайно прост – он сводится к
вычислениям по рекуррентной формуле

 s0 = γ , s1 = δ , s i+1 = (1/h i+1) ( ν i – h i s i-1 −2( h i + h i+1 ) s i ) , i = 1, 2, ... , N-1.

Однако при больших N хороших сплайн-приближений на этом пути не
получается, поскольку задача (3.1) – (3.2) является некорректно поставленной.
     Напомним, что под корректностью математической задачи понимают
ситуацию, когда изменение решения, вызванное изменением данных задачи,
имеет тот же порядок малости, что и изменение входных данных. Покажем, что в
случае системы (3.1) – (3.2) это как раз и не имеет места.
     Дадим правой части γ в (3.1) приращение ∆γ и выясним, как это скажется
на решении системы. Обозначим новое решение через � s = {� s i } ; это решение
удовлетворяет системе

       � s0 = γ+∆γ , � s1 = δ ,                                                                (3.3)

        h i� s i-1 + 2( h i + h i+1 )� s i + h i+1� s i+1 = ν i ,    i = 1, 2, ... , N-1 .     (3.4)

Вычитание уравнений (3.1), (3.2) из соответствующих уравнений системы (3.3),
(3.4) даёт для приращения решения ε = { ε i } = {� s i – s i } систему уравнений

       ε0 = ∆γ , ε1 = 0 ,                                                                     (3.5)

       h i ε i-1 + 2( h i + h i+1 ) ε i + h i+1 ε i+1 = 0 ,          i = 1, 2, ... , N-1 .     (3.6)

     Проанализируем эту систему, предположив для простоты, что узлы x i
являются равноотстоящими, а, значит, что величины h i не зависят от i : h i = h.
Система (3.5), (3.6) примет при этом вид

       ε0 = ∆γ , ε1 = 0 ,                                                                      (3.7)

       ε i-1 + 4ε i + ε i+1 = 0 ,    i = 1, 2, ... , N-1 .                                     (3.8)

       Сначала выпишем решение подсистемы (3.8) .
       Будем искать его в виде
                                         i
                                εi = q ,       i = 0, 1, ... , N ,                             (3.9)

где q – параметр, подлежащий определению. Подстановка (3.9) в (3.8) и
               i-1
сокращение на q дают для нахождения q уравнение

                                1 + 4q + q 2 = 0 .                                           (3.10)


                                                                                                   7

Страницы