Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
вторая производная которого
принимает в точках x
i-1
, x
i
требуемые значения s
i-1
, s
i
. А так как при таком
прибавлении значения конструируемой функции в точках x
i-1
, x
i
изменятся на
величины
вычтем из полученной суммы многочлен первой степени
значения которого в точках x
i-1
, x
i
в точности равны величинам (2.4).
Полученная функция
и будет искомым многочленом , удовлетворяющим условиям (2.2),(2.3).
Обозначим через ϕ функцию , заданную на отрезке [a,b] локальными
представлениями (2.5). Так как соседние многочлены ϕ
i
, ϕ
i+1
в точке x
i
принимают одно и то же значение f(x
i
) , функция ϕ непрерывна на отрезке [a,b]
при любом наборе значений s
0
, s
1
, ... , s
N
. Дифференцируемость же этой функции
в точках x
i
, i = 1, 2, ... , N-1 при произвольном выборе параметров s
i
места не
имеет; чтобы её обеспечить , на выбор s
i
приходится налагать условия
ϕ
i
′(x
i
) = ϕ
i+
1
′(x
i
) , i = 1, 2, ... , N-1 , (2.6)
представляющие собой линейные алгебраические уравнения относительно s
i
.
Для вывода этих уравнений продифференцируем (2.5)
и положим здесь x = x
i
:
i
1i
i
i
i
1i
h
xx
s
h
xx
s
−
−
−
+
−
)4.2(,hs
6
1
,hs
6
1
2
ii
2
i1i −
,)xx(s
6
h
)xx(s
6
h
1ii
i
i1i
i
−−
−+−
[]
)5.2(xxx,)xx(s)xx(s
6
h
h
)xx(
s
h
)xx(
s
6
1
h
xx
)x(f
h
xx
)x(f)x(
i1i1iii1i
i
i
3
1i
i
i
3
i
1i
i
1i
i
i
i
1ii
≤≤−+−−
−
−
+
−
+
−
+
−
=ϕ
−−−
−
−
−
−
[]
)7.2(ss
6
h
h
)xx(
s
h
)xx(
s
2
1
h
)x(f)x(f
)x('
i1i
i
i
2
1i
i
i
2
i
1i
i
1ii
i
+−−
−
+
−
−+
−
=ϕ
−
−
−
−
вторая производная которого

                                                  x i −x              x −x i −1
                                         s i −1               +s i
                                                    hi                  hi
принимает в точках x i-1 , x i требуемые значения s i-1, s i . А так как при таком
прибавлении значения конструируемой функции в точках x i-1, x i изменятся на
величины
                                                    1                           1
                                                      s i −1 h i2       ,         s i h i2    ,                                       ( 2. 4)
                                                    6                           6

вычтем из полученной суммы многочлен первой степени

                                       hi                             hi
                                            s i −1 ( x i −x) +              s i ( x −x i −1 ) ,
                                        6                              6

значения которого в точках x i-1, x i в точности равны величинам (2.4).
     Полученная функция
                             x i −x                x −x i −1         1�        ( x i −x) 3      ( x −x i −1 ) 3              �
ϕi ( x) = f ( x i −1 )                +f (x i )                     + � s i −1             +s i                              � −
                                hi                       hi          6�              hi              hi                      �

−
    hi
    6
         [s   i −1   ( x i −x) + s i ( x −x i −1 )   ]        ,      x i −1 ≤ x ≤ x i                                                 ( 2.5)


и будет искомым многочленом, удовлетворяющим условиям (2.2),(2.3).
      Обозначим через ϕ функцию, заданную на отрезке [a,b] локальными
представлениями (2.5). Так как соседние многочлены ϕ i, ϕ i+1 в точке x i
принимают одно и то же значение f(x i) , функция ϕ непрерывна на отрезке [a,b]
при любом наборе значений s0, s1, ... , sN . Дифференцируемость же этой функции
в точках x i , i = 1, 2, ... , N-1 при произвольном выборе параметров s i места не
имеет; чтобы её обеспечить, на выбор s i приходится налагать условия

                           ϕ i′(x i) = ϕ i+1′(x i)        ,       i = 1, 2, ... , N-1 ,                                               (2.6)

представляющие собой линейные алгебраические уравнения относительно s i .
     Для вывода этих уравнений продифференцируем (2.5)

           f ( xi ) −f ( xi −1 )  1�         ( x i −x ) 2      ( x −x i −1 ) 2                    �
ϕ ' i (x) =                      + � −s i −1
                                  2�
                                                          +s i                                    � −
                                                                                                        hi
                                                                                                             [ −s   i −1   +s i   ]   ( 2.7 )
                    hi                             hi               hi                            �     6

и положим здесь x = x i :

                                                                                                                                           5

Страницы