ВУЗ:
Составители:
34
Упражнение 2. Доказать существование и единственность сплайна порядка
2 степени 2, принимающего в узлах x
0
, x
1
, x
2
значения f
0
, f
1
, f
2
.
Указание. Составить систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов a
j
( i )
, j = 0, 1, 2 , i = 1, 2 и вычислить
определитель системы.
Упражнение 3. Для сплайна из упражнения 2 выразить значение сплайна в
точке x ∈ [ x
0
, x
2
] через величины f
0
, f
1
, f
2
.
Указание. Воспользоваться многочленом Лагранжа.
Упражнение 4. Обосновать гипотезу о том, что при N>2
интерполяционный сплайн второго порядка второй степени при произвольном
наборе значений f
0
, f
1
, ... , f
N
, вообще говоря , не существует.
Указание. Сравнить число условий на коэффициенты сплайна a
j
( i )
, j = 0,1,
2 , i = 1, 2, ... , N с количеством этих коэффициентов.
Упражнение 5. Вывести условие на значения f
– 3
, f
–1
, f
1
, f
3
функции f в
точках x
0
= - 3, x
1
= - 1, x
2
= 1, x
3
= 3 , гарантирующее существование
интерполяционного сплайна второго порядка второй степени.
Задача 6. Доказать справедливость гипотезы , сформулированной в
упражнении 4.
Упражнение 7. Рассматривается естественный кубический сплайн,
принимающий в узлах x
0
= - 1, x
1
= 0, x
2
= 1 значения f
- 1
, f
0
, f
1
. Выразить
значение сплайна в точке x ∈ [-1,1] как функцию переменных f
–1
, f
0
, f
1
.
Упражнение 8. Рассматривается кубический сплайн с параболическими
концевыми отрезками, принимающий в узлах x
0
= - 2 , x
1
= - 1 , x
2
= 1 , x
3
= 2
значения f
– 2
, f
–1
, f
1
, f
2
. Выразить значение сплайна в точке x ∈ [-2, 2] как
функцию f
– 2
, f
– 1
, f
1
, f
2
.
Задача 9.Исследовать применительно к задаче построения
интерполяционного кубического сплайна с равноотстоящими узлами и
дополнительными краевыми условиями вопрос об устойчивости к погрешностям
округлений процесса вычисления прогоночных коэффициентов M
i
, считая для
простоты коэффициенты L
i
заданными точно.
Задача 10. Исследовать применительно к той же задаче построения сплайна
вопрос о численной устойчивости обратной прогонки , считая для простоты
прогоночные коэффициенты заданными точно .
Задание 11. Составить программу приближения функции
интерполяционным кубическим сплайном с начальными условиями и
равноотстоящими узлами. Предусмотреть возможность одновременного вывода
на экран графиков приближаемой функции и приближающего её сплайна. Для
отладки программы в качестве приближаемой функции взять функцию Рунге
,xxx,xaxaa)x(
10
2
)1(
2
)1(
1
)1(
0
1
≤≤++=ϕ
.xxx,xaxaa)x(
21
2
)2(
2
)2(
1
)2(
0
2
≤≤++=ϕ
ϕ1 ( x ) = a 0( 1 ) + a 1( 1 ) x + a 2( 1 ) x 2 , x 0 ≤x ≤x 1 ,
ϕ 2 ( x ) = a 0( 2 ) +a 1( 2 ) x +a 2( 2 ) x 2 , x 1 ≤x ≤x 2 .
Упражнение 2. Доказать существование и единственность сплайна порядка
2 степени 2, принимающего в узлах x0 , x1 , x2 значения f0 , f1 , f2 .
Указание. Составить систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов aj ( i ) , j = 0, 1, 2 , i = 1, 2 и вычислить
определитель системы.
Упражнение 3. Для сплайна из упражнения 2 выразить значение сплайна в
точке x ∈ [ x0, x2 ] через величины f0 , f1 , f2 .
Указание. Воспользоваться многочленом Лагранжа.
Упражнение 4. Обосновать гипотезу о том, что при N>2
интерполяционный сплайн второго порядка второй степени при произвольном
наборе значений f0, f1, ... , fN , вообще говоря, не существует.
(i)
Указание. Сравнить число условий на коэффициенты сплайна aj , j = 0,1,
2 , i = 1, 2, ... , N с количеством этих коэффициентов.
Упражнение 5. Вывести условие на значения f – 3, f –1, f 1, f 3 функции f в
точках x0 = - 3, x1 = - 1, x2 = 1, x3 = 3 , гарантирующее существование
интерполяционного сплайна второго порядка второй степени.
Задача 6. Доказать справедливость гипотезы, сформулированной в
упражнении 4.
Упражнение 7. Рассматривается естественный кубический сплайн,
принимающий в узлах x0 = - 1, x1 = 0, x2 = 1 значения f - 1 , f 0 , f 1 . Выразить
значение сплайна в точке x ∈ [-1,1] как функцию переменных f –1 , f 0 , f 1 .
Упражнение 8. Рассматривается кубический сплайн с параболическими
концевыми отрезками, принимающий в узлах x0 = - 2 , x1 = - 1 , x2 = 1 , x3 = 2
значения f – 2 , f –1 , f 1 , f 2 . Выразить значение сплайна в точке x ∈ [-2, 2] как
функцию f – 2 , f – 1 , f 1 , f 2 .
Задача 9.Исследовать применительно к задаче построения
интерполяционного кубического сплайна с равноотстоящими узлами и
дополнительными краевыми условиями вопрос об устойчивости к погрешностям
округлений процесса вычисления прогоночных коэффициентов M i , считая для
простоты коэффициенты L i заданными точно.
Задача 10. Исследовать применительно к той же задаче построения сплайна
вопрос о численной устойчивости обратной прогонки , считая для простоты
прогоночные коэффициенты заданными точно.
Задание 11. Составить программу приближения функции
интерполяционным кубическим сплайном с начальными условиями и
равноотстоящими узлами. Предусмотреть возможность одновременного вывода
на экран графиков приближаемой функции и приближающего её сплайна. Для
отладки программы в качестве приближаемой функции взять функцию Рунге
34
