Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
Тогда на выходе вместо решения (8.9) получим решение
погрешность которого, как легко проверить , вычитая из (8.11) равенство (8.9),
задаётся формулой
Итак , погрешность приближенного значения s
i
пропорциональна
допущенной погрешности округления ω, причём коэффициентом
пропорциональности является значение s
i
**
вспомогательного решения s
**
.
Абсолютная величина этого коэффициента пропорциональности неограниченно (
и притом весьма быстро ) растёт с увеличением номера i, что и означает
численную неустойчивость рассматриваемого алгоритма.
В самом деле, вспомогательное решение s
**
есть решение системы (8.10),
изученной нами в пункте 3
0
. Согласно исследованиям этого пункта ( см. формулы
(3.11),(3.12) ), решение s
**
представимо в виде
фигурирующие здесь константы С
1
,С
2
должны быть найдены из условий (8.5):
Подстановка найденных отсюда постоянных
в (8.13) даёт для коэффициента пропорциональности s
i
**
аналитическое
представление
Поскольку
.CC ω+=
)11.8(,N,...,1,0i,s)C(ss
ii
i
=ω++=
∗
∗
∗
)12.8(.N,...,1,0i,sss
i
iii
=ω=−=ε
∗
∗
)13.8(;32q,32q,qCqCs
21
i
2
2
i
1
1
i
−−=+−=+=
∗
∗
.1qCqC,0CC
221121
=
+
=
+
12
2
21
1
qq
1
C,
qq
1
C
−
=
−
=
)14.8(.N,...,1,0i,)32(
32
1
)32(
32
1
s
ii
i
=−−−+−=
∗∗
,1732,332,1268,032 >≈−−<≈+−
                                   C =C + ω .

Тогда на выходе вместо решения (8.9) получим решение

                    s i = s i∗+ ( C +ω) s i∗∗ ,          i = 0 ,1, ... , N ,               (8.11)

погрешность которого, как легко проверить, вычитая из (8.11) равенство (8.9),
задаётся формулой

                  εi = s i −s i = s i∗∗ ω ,            i = 0 ,1 , ... , N .                (8.12)

       Итак, погрешность приближенного значения         �s i  пропорциональна
допущенной погрешности округления                 ω, причём коэффициентом
                                             **
пропорциональности является значение si         вспомогательного решения s**.
Абсолютная величина этого коэффициента пропорциональности неограниченно (
и притом весьма быстро ) растёт с увеличением номера i, что и означает
численную неустойчивость рассматриваемого алгоритма.
                                                 **
       В самом деле, вспомогательное решение s есть решение системы (8.10),
изученной нами в пункте 30. Согласно исследованиям этого пункта ( см. формулы
(3.11),(3.12) ), решение s** представимо в виде

  s i∗∗ = C 1 q 1i +C 2 q 2i   ,     q 1 = −2 + 3 , q 2 = −2 − 3 ;                         (8.13)

фигурирующие здесь константы С1,С2 должны быть найдены из условий (8.5):

                       C 1 +C 2 = 0 ,             C1 q 1 + C 2 q 2 = 1 .

Подстановка найденных отсюда постоянных
                                   1                             1
                       C1 =                   ,      C2 =
                               q 1 −q 2                      q 2 −q 1

в (8.13) даёт для коэффициента пропорциональности                             si** аналитическое
представление


              1                           1
   s i∗∗ =         ( −2 + 3 ) i −             ( −2 − 3 ) i     ,     i = 0 ,1, ... , N .   (8.14)
             2 3                      2 3
      Поскольку

               −2 + 3 ≈ 0,268 < 1 ,                   −2 − 3 ≈ 3,732 > 1 ,

                                                                                               32

Страницы