ВУЗ:
Составители:
33
абсолютная величина первого слагаемого в (8.14) при i → ∞ весьма быстро
стремится к нулю, а второго – весьма быстро стремится к +∞; поэтому при
достаточно больших i величина | s
i
**
| имеет вид
и, значит, весьма быстро стремится к + ∞ при неограниченном увеличении i .
Отсюда в силу (8.12) следует, что неравенство вида (7.18) из определения 7.3
численной устойчивости, принимающее в данном случае форму соотношения :
не может быть выполнено ни при каких сколь угодно малой константе ρ и сколь
угодно большой конечной константе K; тем самым вопрос о численной
неустойчивости рассматриваемого алгоритма в теоретическом плане выяснен.
С практической же точки зрения уже при i = 100 алгоритм оказывается
совершенно непригодным, поскольку величина (8.15) имеет в этом случае
порядок 4,5 ⋅ 10
56
, и, значит, погрешность округления порядка 10
-11
трансформируется здесь согласно (8.12) в погрешность ε
100
с абсолютной
величиной порядка 4,5⋅10
45
.
Завершая настоящий выпуск, подчеркнём, что при конструировании какого-
либо аппарата приближения , содержащего параметр N, следует прежде всего
добиться корректности постановки соответствующей математической задачи, т.е.
непрерывной зависимости её решений от входных данных, равномерной по
параметру N. После того, как это сделано, следует выбрать численный метод
решения поставленной математической задачи, устойчивый относительно ошибок
округлений . Примером реализации такого подхода служит изложенный в
настоящем выпуске способ построения интерполяционного кубического сплайна
с дополнительными краевыми условиями, использующий метод прогонки в
качестве вычислительного алгоритма решения линейных систем с
трехдиагональной матрицей .
9
0
.Задачи и упражнения .
Упражнение 1. Построить сплайн порядка 1 степени 2, принимающий в
узлах x
0
= -1, x
1
= 0, x
2
= 1 соответственно значения 0, ½ , 0 и имеющий в точке x
0
касательную , составляющую с осью ox угол 45°.
Указание. Составить и решить систему линейных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов a
j
( i )
, j = 0,1,2 , i = 1,2 локальных
представлений сплайна
)15.8(32
32
1
s
i
i
−−≈
∗∗
,NлюбогодляKmax
i
Ni0
ω≤ε
≤≤
абсолютная величина первого слагаемого в (8.14) при i → ∞ весьма быстро
стремится к нулю, а второго – весьма быстро стремится к +∞; поэтому при
достаточно больших i величина | si** | имеет вид
1 i
s i∗∗ ≈ −2 − 3 (8.15)
2 3
и, значит, весьма быстро стремится к + ∞ при неограниченном увеличении i .
Отсюда в силу (8.12) следует, что неравенство вида (7.18) из определения 7.3
численной устойчивости, принимающее в данном случае форму соотношения:
max εi ≤ K ω для любого N ,
0 ≤i ≤N
не может быть выполнено ни при каких сколь угодно малой константе ρ и сколь
угодно большой конечной константе K; тем самым вопрос о численной
неустойчивости рассматриваемого алгоритма в теоретическом плане выяснен.
С практической же точки зрения уже при i = 100 алгоритм оказывается
совершенно непригодным, поскольку величина (8.15) имеет в этом случае
порядок 4,5 ⋅ 1056, и, значит, погрешность округления порядка 10-11
трансформируется здесь согласно (8.12) в погрешность ε100 с абсолютной
величиной порядка 4,5⋅1045.
Завершая настоящий выпуск, подчеркнём, что при конструировании какого-
либо аппарата приближения, содержащего параметр N, следует прежде всего
добиться корректности постановки соответствующей математической задачи, т.е.
непрерывной зависимости её решений от входных данных, равномерной по
параметру N. После того, как это сделано, следует выбрать численный метод
решения поставленной математической задачи, устойчивый относительно ошибок
округлений. Примером реализации такого подхода служит изложенный в
настоящем выпуске способ построения интерполяционного кубического сплайна
с дополнительными краевыми условиями, использующий метод прогонки в
качестве вычислительного алгоритма решения линейных систем с
трехдиагональной матрицей.
90.Задачи и упражнения.
Упражнение 1. Построить сплайн порядка 1 степени 2, принимающий в
узлах x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1 соответственно значения 0, ½, 0 и имеющий в точке x0
касательную, составляющую с осью ox угол 45°.
Указание. Составить и решить систему линейных алгебраических
( i )
уравнений относительно коэффициентов a j , j = 0,1,2 , i = 1,2 локальных
представлений сплайна
33
