Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 31 стр.

                                s N∗+ C s N∗∗ = ψ .

       4. Подставляем найденное значение C

                                         ψ −s N∗
                                   C=                                                               (8.8)
                                            s N∗∗

в (8.7) и получаем набор значений неизвестных

                              ψ −s N∗
                s i = s i∗+             s i∗∗ ,          i = 0 ,1 , ... , N .                      (8.9)
                               s N∗∗

     Заметим, что решение (8.9) по построению удовлетворяет краевым
условиям (8.2). Что же касается самой системы (8.1), то переписывая
рекуррентные соотношения (8.4), (8.6) в виде

             s i∗−1 +4 s i∗+ s i∗+1 = κ i     ,         i = 1 , 2 , ... , N −1 ,

             s i∗−∗1 +4 s∗∗    ∗∗
                         i +s i +1 = 0        ,         i = 1, 2 , ... , N −1 ,                    (8.10)

умножая второе из этих соотношений на C и складывая, приходим к равенствам

( s i∗         ∗∗             ∗       ∗∗       ∗          ∗∗
     −1 + C s i −1 ) + 4 ( s i + C s i ) +( s i +1 + C s i +1 ) = κ i      ,       i = 1, 2 , ... , N −1 ,

т.е. к равенствам (8.1):

                    s i −1 + 4 s i + s i +1 =κ i    ,        i = 1, 2 , ... , N −1 .

      Следовательно, формула       (8.9), если отвлечься от неизбежных
погрешностей округления при вычислениях по формулам (8.4), (8.6), (8.8), (8.9),
действительно даёт решение поставленной задачи (8.1) - (8.2). При этом с точки
зрения объёма требуемой оперативной памяти ЭВМ и числа требуемых
арифметических операций рассматриваемый алгоритм вполне аналогичен методу
прогонки. Однако в отличие от метода прогонки он не обладает численной
устойчивостью.
      Чтобы облегчить анализ влияния погрешностей округлений, предположим,
что все вычисления, за исключением нахождения константы C по формуле (8.8),
выполняются абсолютно точно ( без округлений ), а при вычислении C допущена
ошибка округления ω , так что вместо теоретического значения C получено
приближённое значение


                                                                                                        31