Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 30 стр.

     80. Пример численно неустойчивого алгоритма.


      Не следует думать, что корректность математической постановки задачи
автоматически гарантирует численную устойчивость алгоритма её решения.
Проиллюстрируем этот факт на примере корректной математической задачи –
задачи построения интерполяционного кубического сплайна с равноотстоящими
узлами и краевыми условиями первого типа.

              s i −1 +4 s i +si +1 = κ i   ,     i = 1, 2 , ... , N −1 ,     (8.1)
              s0 = ϕ ,          sN = ψ .                                     (8.2)

     Рассмотрим следующий алгоритм решения системы (8.1)-(8.2).
     Находим решение s∗ = {si∗} системы (8.1), удовлетворяющее начальным
условиям

                    s 0∗ = ϕ ,         s 1∗ = 0 ;                            (8.3)
           ∗
значения si этого решения для i = 2, 3, ... , N вычисляются по рекуррентной
формуле

            si∗               ∗     ∗
              +1 = κ i − 4 s i − s i −1 ,         i = 1 , 2 , ... , N −1 .   (8.4)

                            ∗∗
     2. Находим решение s      однородной ( κi ≡ 0 ) системы (8.1),
удовлетворяющее начальным условиям

                       s 0∗∗ = 0 ,         s 1∗∗ = 1 ;                       (8.5)

значения si** этого решения для i = 2, 3, ... , N вычисляются по рекуррентной
формуле

                  ∗∗         ∗∗    ∗∗
               s i+1 = −4 s i −s i −1 ,         i = 1 , 2 , ... , N −1 .     (8.6)

     3. Рассматриваем линейную комбинацию этих решений вида

                          s = s ∗ + C s ∗∗ ,                                 (8.7)

которая в силу первых из равенств (8.3), (8.5) при любом С удовлетворяет
краевому условию на левом конце отрезка, и подбираем константу C так, чтобы
удовлетворялось и условие на правом конце:


                                                                                30