Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Тем самым соотношение (7.24) для i = 2 доказано .
Пусть коэффициент L
i
удовлетворяет неравенству из условия (7.24). Тогда
а значит,
и справедливость леммы следует из принципа математической индукции.
Лемма 7.6 Пусть выполнено условие (7.23) и условие
Тогда
Доказательство . В силу (7.23) и (7.25) имеем
Поэтому
Далее, если коэффициент L
i
удовлетворяет неравенству (7.26), то
а, следовательно ,
,
3
2
3
3
1
4L4
i
=−>+
,
3
1
3
2
3
1
L4
1
L4
1
L
ii
1i
<<
+
=
+
=
+
)25.7(01,0max
i
Ni1
≤ω
≤≤
)26.7(.N,...,3,2iлюбогодля
3
1
L
i
=<
.49,301,0
2
1
4L4L4
11
1
=−−≥ω++=+
.
3
1
31047
10349
34900
10349
100
1
349
100
01,0
49,3
1
L4
1
L4
1
L4
1
L
2
1
2
1
2
1
2
=≤=+=+≤
≤ω+
+
=ω+
+
≤ω+
+
−=
,
3
2
3
3
1
4L4
i
=−>+
,
3
1
33,9
11,3
11
11,3
01,0
11
3
01,0
3
2
3
1
L4
1
L4
1
L4
1
L
1i
i
1i
i
1i
i
1i
=<=+=+<
<ω+
+
=ω+
+
≤ω+
+
−=
+++
+
        Тем самым соотношение (7.24) для i = 2 доказано.
        Пусть коэффициент Li удовлетворяет неравенству из условия (7.24). Тогда

                                                     1     2
                              4 +L i      > 4−         = 3   ,
                                                     3     3
а значит,

                                 1                    1            1        1
                L i +1    =                   =              <          <     ,
                               4 +L i               4 +L i        3
                                                                    2       3
                                                                    3
и справедливость леммы следует из принципа математической индукции.
      Лемма 7.6 Пусть выполнено условие (7.23) и условие

                                 max          ωi    ≤ 0,01                           (7.25)
                                1 ≤i ≤N
Тогда
                                   1
                         Li    <              для     любого i = 2 , 3 , ... , N .   (7.26)
                                   3
        Доказательство. В силу (7.23) и (7.25) имеем
                                                                 1
             4 + L 1 = 4 + L 1 + ω1 ≥ 4 −                          − 0,01 = 3,49 .
                                                                 2

Поэтому

                       1              1            1
          L2 = −            + ω2 ≤        + ω2 =        + ω2 ≤
                     4 +L 1        4 + L1        4 +L 1
               1           100    1    10349   10349   1
         ≤        + 0,01 =     +     =       ≤       =   .
             3,49          349   100   34900   31047   3

        Далее, если коэффициент�L         i   удовлетворяет неравенству (7.26), то

                                                       1    2
                                4 + Li > 4 −             =3   ,
                                                       3    3

а, следовательно,
                       1                1                1
        L i +1 = −          + ωi +1 ≤        + ωi +1 =        + ωi +1 <
                     4 +L i           4 +L i           4 +L i
          1            3          3,11   3,11   1
     <       + 0,01 =    + 0,01 =      <      =   ,
           2          11           11    9,33   3
         3
           3
                                                                                          28

Страницы