Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
и утверждение вытекает из принципа математической индукции.
Лемма 7.7. Пусть выполнены условия (7.23) и (7.25). Тогда
Доказательство . По леммам 7.5,7.6
Но тогда и промежуточная между L
i
,L
i
величина L
i
∗∗
удовлетворяет
неравенству
Следовательно
а потому для величины (7.22) справедлива оценка (7.27).
Следствие7.8. Если погрешности округлений ω
i
подчинены условию
(7.25), то при любом из краевых условий (7.20) погрешности ε
i
прогоночных
коэффициентов L
i
будут удовлетворять неравенству
В самом деле, коэффициент L
1
в случае условий (7.20) принимает
соответственно значения 0, 1, - 1/2, а потому удовлетворяет условию (7.23).
Остальное следует из леммы 7.7 и теоремы 7.1.
Замечание 7.9. Итак , процесс вычисления прогоночных коэффициентов L
i
в случае интерполяционного кубического сплайна с краевыми условиями
является численно устойчивым в смысле определения 7.3 с константой K,
близкой к единице ( K = 121/112 ≅ 1,08 ) и константой ρ = 10
–2
, весьма большой
для используемых в настоящее время вычислительных систем ( например, для
среды программирования Turbo Pascal 7.0 относительная ошибка округления при
выполнении арифметической операции не превосходит 10
–11
).
)27.7(.N,...,3,2iлюбогодля
121
9
k
i
=≤
,
3
11
3
2
3
3
1
4L4
i
==−>+
.
3
11
3
2
3
3
1
4L4
i
==−>+
.N,...,3,2i,
3
11
L4
i
=>+
∗∗
,
11
3
L4
1
0
i
<
+
<
∗∗
.max
112
121
max
i
Ni1
i
Ni1
ω≤ε
≤≤≤≤
и утверждение вытекает из принципа математической индукции.
      Лемма 7.7. Пусть выполнены условия (7.23) и (7.25). Тогда
                         9
                 ki ≤             для любого i =2 , 3 , ... , N .                    (7.27)
                        121

     Доказательство. По леммам 7.5,7.6
                                         1   2  11
                      4 +L i > 4 −         =3 =    ,
                                         3   3   3
                                         1   2  11
                      4 +L i > 4 −         =3 =    .
                                         3   3   3

Но тогда и промежуточная между           Li ,�L    i   величина           Li∗∗ удовлетворяет
неравенству

                                   11
                      4 +L ∗
                           i
                             ∗
                               >      ,           i = 2 , 3 , ... , N .
                                    3

Следовательно
                                     1             3
                          0 <                <       ,
                                  4 +L ∗
                                       i
                                         ∗        11

а потому для величины (7.22) справедлива оценка (7.27).
       Следствие7.8. Если погрешности округлений ωi подчинены условию
(7.25), то при любом из краевых условий (7.20) погрешности εi прогоночных
коэффициентов �L i будут удовлетворять неравенству

                                          121
                         max      εi ≤          max ωi             .
                        1 ≤i ≤N           112 1 ≤i ≤N

      В самом деле, коэффициент L1 в случае условий (7.20) принимает
соответственно значения 0, 1, - 1/2, а потому удовлетворяет условию (7.23).
Остальное следует из леммы 7.7 и теоремы 7.1.
      Замечание 7.9. Итак, процесс вычисления прогоночных коэффициентов Li
в случае интерполяционного кубического сплайна с краевыми условиями
является численно устойчивым в смысле определения 7.3 с константой K,
близкой к единице ( K = 121/112 ≅1,08 ) и константой ρ = 10 –2 , весьма большой
для используемых в настоящее время вычислительных систем ( например, для
среды программирования Turbo Pascal 7.0 относительная ошибка округления при
выполнении арифметической операции не превосходит 10 –11 ).


                                                                                          29

Страницы