Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 26 стр.

      Отсюда

                                                 1
                          max       εi ≤             max ωi         .           (7.15)
                         2 ≤i ≤N               1 −q 1 ≤i ≤N

      В то же время

                                       1         1
                      ε1 = ω1 ≤           ω1 ≤        max ωi                .   (7.16)
                                     1 −q      1 −q 1 ≤i ≤N

       Объединение оценок (7.15), (7.16) и даёт нужное неравенство (7.14).
       Замечание 7.2. Условие (7.11) выполнено всегда, поскольку при вычислении
L1 накопленная погрешность отсутствует, а значит, погрешность                    ε1
коэффициента �L 1 совпадает с добавленной погрешностью ω1 .Что же касается
условия (7.13), то его справедливость зависит, во-первых, от коэффициентов ci ,
di , ei рассматриваемой системы уравнений и, во-вторых, от допускаемых нами
предельных значений добавленных погрешностей ωm .
       Определение 7.3. Процесс вычисления скалярных величин ri , i = 1, 2, ... , N
назовём численно устойчивым ( или устойчивым относительно ошибок
округления при выполнении арифметических действий ), если существуют
независящие N константы ρ, K ( K < ∞ ) , такие что при выполнении условия

                                    max         ωi < ρ                          (7.17)
                                   1 ≤i ≤N


погрешности εi вычисляемых величин удовлетворяют оценке

                                   max    εi ≤ K max           ωi       .        (7.18)
                                1 ≤i ≤N              1 ≤i ≤N



     Замечание 7.4. С теоретической точки зрения оценка (7.18) означает, что
при условии (7.17) погрешности вычисленных величин имеют тот же порядок
малости, что и допускаемые при вычислениях погрешности округлений. В
практическом же плане, конечно, важно, чтобы константа K в неравенстве (7.18)
была бы не слишком велика, а константа ρ из (7.17) – не слишком мала.
     Укажем константы K и ρ применительно к задаче построения
интерполяционного кубического сплайна с равноотстоящими узлами и
дополнительными краевыми условиями, т.е. в случае системы уравнений

                  s i −1 +4 s i +s i +1 =κ i    ,   i =1 , 2 , ... , N −1       (7.19)


                                                                                    26