Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
погрешности ε
i
+1
коэффициента L
i
+1
через погрешность ε
i
предшествующего
коэффициента L
i
и добавленную погрешность ω
i+1
.
Введём в рассмотрение величины
и перепишем с их помощью соотношения (7.6) в виде
Многократное использование равенств (7.8) даёт
Из этих выкладок следует, что погрешность округлений ω
m
, добавленная при
вычислении коэффициента L
m
( m < i +1 ) , войдет в выражение для
погрешности ε
i+1
в виде слагаемого
с множителем
Последний множитель характеризует влияние погрешности ω
m
на процесс
вычисления коэффициента L
i+1
; ввиду этого входящие в этот множитель
сомножители (7.7) естественно назвать коэффициентами распространения
добавленной погрешности.
Если абсолютные величины этих коэффициентов меньше единицы, то при
увеличении i слагаемое (7.10) по абсолютной величине убывает и,
следовательно , влияние погрешности ω
m
уменьшается. Более того, в этом случае
)6.7(
Lcd
e
e
c
1ii
2
i
ii
i
i
i
1i +
∗∗
+
ω+ε
+
=ε
)7.7(1N,...,2,1i,
Lcd
e
e
c
k
2
i
ii
i
i
i
1i
−=
+
=
∗∗
+
)8.7(.1N,...,2,1i,k
1ii1i1i
−
=
ω
+
ε
=
ε
+++
)9.7(....k
kkkkkk)k(kk
kkk)k(kk
1ii1i
1ii1i2i1ii1i1ii1i1i2i1ii1i
1ii1i1ii1i1ii1ii1i1ii1i1i
=ω+ω+
+ω+ε=ω+ω+ω+ε=
=
ω
+
ω
+
ε
=
ω
+
ω
+
ε
=
ω
+
ε
=
ε
++
−+−−+++−−−+
++−++−++++
)10.7(k...kk
m1mi1i
ω
++
.k...kk
1mi1i ++
                                                         2
                        � c i � ��        ei      �
                                                    �
                 εi +1 = �        �                          εi + ωi +1                         (7.6)
                           � e i � � d +c L � ∗∗
                            �       � � i   i i �




погрешности εi+1 коэффициента �L i+1 через погрешность εi предшествующего
коэффициента �L i и добавленную погрешность ωi+1 .
     Введём в рассмотрение величины

                                                 2
                 � c i � ��        ei      �
                                             �
         k i +1 = �        �                         ,        i =1 , 2 , ... , N −1            (7.7)
                    � e i � � d +c L � ∗∗
                     �       � � i   i i �


и перепишем с их помощью соотношения (7.6) в виде

                       εi +1 =k i +1 εi +ωi +1 , i =1 , 2 , ... , N −1 .                      (7.8)

Многократное использование равенств (7.8) даёт

εi +1 =k i +1 εi +ωi +1 =k i +1 ( k i εi −1 +ωi ) +ωi +1 =k i +1 k i εi −1 +k i +1 ωi +ωi +1 =
=k i +1 k i ( k i −1 εi −2 +ωi −1 ) +k i +1 ωi +ωi +1 =k i +1 k i k i −1 εi −2 +k i +1 k i ωi −1 +
+k i +1 ωi +ωi +1 =...        .                                                                (7.9)
Из этих выкладок следует, что погрешность округлений ωm , добавленная при
вычислении коэффициента Lm ( m < i +1 ) , войдет в выражение для
погрешности εi+1 в виде слагаемого

                                   k i +1 k i ... k m +1 ωm                                  (7.10)

с множителем
                                     k i +1 k i ... k m +1 .

Последний множитель характеризует влияние погрешности ωm на процесс
вычисления коэффициента Li+1 ; ввиду этого входящие в этот множитель
сомножители (7.7) естественно назвать коэффициентами распространения
добавленной погрешности.
     Если абсолютные величины этих коэффициентов меньше единицы, то при
увеличении     i    слагаемое (7.10) по абсолютной величине убывает и,
следовательно, влияние погрешности ωm уменьшается. Более того, в этом случае

                                                                                                     24

Страницы