Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами. Гудович Н.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
и суммарное влияние погрешностей ω
m
оказывается ограниченным в смысле
следующего утверждения .
Теорема 7.1. Пусть величины ε
i
удовлетворяют соотношениям
и пусть абсолютные величины фигурирующих в (7.12) коэффициентов k
i+1
квалифицированно меньше единицы:
где q – константа, не зависящая от i и N. Тогда справедлива оценка
Доказательство . Продолжив преобразования (7.9), окончательно получим
Заменяя здесь величину ε
1
равной ей в силу (7.11) величиной ω
1
и переходя к
оценке по модулю, приходим с учётом (7.13) к неравенству
а потому и неравенству
Наконец , усиливая последнее неравенство заменой суммы конечной прогрессии
суммой бесконечной, будем иметь
)12.7(,1N,...,2,1i,k
)11.7(,
1ii1i1i
11
−=ω+ε=ε
ω
=
ε
+++
)13.7(,1N,...,2,1i,1qk
1i
−=<≤
+
)14.7(.max
q1
1
max
i
Ni1
i
Ni1
ω
−
≤ε
≤≤≤≤
.1N,...,2,1i,kk...kkk...kk
i
2
m
1im1m2mi1i12i1i1i
∑
=
++++++
−=ω+ω+ε=ε
∑
=
+
+−
+
ω+ω+ω≤ε
i
2
m
1im
1mi
1
i
1i
,qq
.1N,...,2,1i,max)1q...qq(
j
Nj1
1ii
1i
−=ω++++≤ε
≤≤
−
+
.1N,...,2,1i,max
q1
1
j
Nj1
1i
−=ω
−
≤ε
≤≤
+
и суммарное влияние погрешностей ωm оказывается ограниченным в смысле
следующего утверждения.
     Теорема 7.1. Пусть величины εi удовлетворяют соотношениям

               ε1 =ω1 ,                                                                          (7.11)
               εi +1 =k i +1 εi +ωi +1 ,            i =1, 2 , ... , N −1 ,                       (7.12)

и пусть абсолютные величины фигурирующих в (7.12) коэффициентов                                         ki+1
квалифицированно меньше единицы:

                          k i +1 ≤q <1 ,             i =1 , 2 , ... , N −1 ,                      (7.13)

где q – константа, не зависящая от i и N. Тогда справедлива оценка

                                               1
                          max εi ≤                  max ωi                .                       (7.14)
                         1 ≤i ≤N             1 −q 1 ≤i ≤N

      Доказательство. Продолжив преобразования (7.9), окончательно получим
                              i
εi +1 =k i +1 k i ... k 2 ε1 + ∑ k i +1 k i ... k m +2 k m +1 ωm +ωi +1 , i =1, 2 , ... , N −1 .
                            m =2



Заменяя здесь величину ε1 равной ей в силу (7.11) величиной ω1 и переходя к
оценке по модулю, приходим с учётом (7.13) к неравенству

                                                i
                       εi +1 ≤ q i ω1 + ∑ q i −m +1 ωm + ωi +1                          ,
                                               m =2

а потому и неравенству


          εi +1 ≤ ( q i +q i −1 +... +q +1 ) max ωj                   ,       i =1 , 2 , ... , N −1 .
                                                    1 ≤ j ≤N


Наконец, усиливая последнее неравенство заменой суммы конечной прогрессии
суммой бесконечной, будем иметь
                             1
                 εi +1 ≤            max ωj            ,        i =1, 2 , ... , N −1 .
                           1 −q    1 ≤j ≤N



                                                                                                          25

Страницы