ВУЗ:
Составители:
2
1
0
. Существование и единственность интерполяционного многочлена.
Алгебраическим многочленом степени не выше n называют функцию вида
p( x ) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+...+ a
n
x
n
, (1.1)
где x - вещественная переменная , а a
0
, a
1
, ... , a
n
– вещественные константы ; при
a
n
≠0 говорят о многочлене n-ой степени.
Многочлены ввиду простоты вычисления их значений широко
используются для приближения функций . Именно, используя тот или иной
критерий близости функций , по заданной функции f строят многочлен p и
принимают в качестве приближения для f (x) значение p(x) многочлена p в этой
точке: f (x) ≅ p(x) . Если в качестве критерия близости двух функций принимается
совпадение их значений в некотором фиксированном наборе точек, то получается
метод приближения , называемый интерполяцией алгебраическими многочленами.
Пусть f – заданная на отрезке [ a , b ] функция , а
x
0
, x
1
, ... , x
n
(1.2)
-попарно различные точки этого отрезка.
Определение 1.1. Интерполяционным многочленом степени не выше n
(обозначение p
n
(x;{x
i
}
i=0, ... ,n
; f)) называют многочлен (1.1), значения которого в
точках (1.2) совпадают со значениями функции f:
p
n
( x
k
; { x
i
}
i=0, ... , n
; f )= f (x
k
) , k = 0, 1, ... , n; (1.3)
при этом точки (1.2) называются узлами интерполяции, а функция f -
интерполируемой функцией .
Замечание 1.2. Многочлен p
n
( x; {x
i
}, f ) как функция переменной x
зависит, во - первых, от функции f и, во - вторых, от выбора узлов интерполяции
(1.2), что и отражено в обозначении. В том случае , когда ясно , о каком наборе
узлов и какой функции идет речь, естественно использовать более простое
обозначение: p
n
(x).
Теорема 1.3. Для любого набора (1.2) попарно различных узлов
интерполяции на отрезке [a,b] и любой заданной на [a,b] функции f
интерполяционный многочлен p
n
( x; {x
i
}; f ) существует и единственен.
Доказательство . Воспользовавшись (1.1), перепишем условия (1.3) в виде:
a
0
+ a
1
x
k
+ a
2
(x
k
)
2
+ ... + a
m
(x
k
)
m
+ ... + a
n
(x
k
)
n
= f(x
k
), k=0,1, ... ,n. (1.4)
Если набор узлов (1.2) зафиксировать , то соотношения (1.4) можно рассматривать
как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
коэффициентов a
0
,a
1
, ... ,a
m
, ... ,a
n
интерполяционного многочлена p
n
( x; {x
i
}, f ),
и потому вопрос о существовании и единственности этого многочлена
10 . Существование и единственность интерполяционного многочлена.
Алгебраическим многочленом степени не выше n называют функцию вида
p( x ) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn , (1.1)
где x - вещественная переменная, а a0 , a1, ... , an – вещественные константы; при
an≠0 говорят о многочлене n-ой степени.
Многочлены ввиду простоты вычисления их значений широко
используются для приближения функций. Именно, используя тот или иной
критерий близости функций, по заданной функции f строят многочлен p и
принимают в качестве приближения для f (x) значение p(x) многочлена p в этой
точке: f (x) ≅p(x) . Если в качестве критерия близости двух функций принимается
совпадение их значений в некотором фиксированном наборе точек, то получается
метод приближения, называемый интерполяцией алгебраическими многочленами.
Пусть f – заданная на отрезке [ a , b ] функция, а
x0 , x1 , ... , xn (1.2)
-попарно различные точки этого отрезка.
Определение 1.1. Интерполяционным многочленом степени не выше n
(обозначение pn (x;{xi}i=0, ... ,n ; f)) называют многочлен (1.1), значения которого в
точках (1.2) совпадают со значениями функции f:
pn ( x k ; { xi }i=0, ... , n ; f )= f (x k ) , k = 0, 1, ... , n; (1.3)
при этом точки (1.2) называются узлами интерполяции, а функция f -
интерполируемой функцией.
Замечание 1.2. Многочлен pn( x; {xi}, f ) как функция переменной x
зависит, во-первых, от функции f и, во-вторых, от выбора узлов интерполяции
(1.2), что и отражено в обозначении. В том случае, когда ясно, о каком наборе
узлов и какой функции идет речь, естественно использовать более простое
обозначение: pn(x).
Теорема 1.3. Для любого набора (1.2) попарно различных узлов
интерполяции на отрезке [a,b] и любой заданной на [a,b] функции f
интерполяционный многочлен pn( x; {xi}; f ) существует и единственен.
Доказательство. Воспользовавшись (1.1), перепишем условия (1.3) в виде:
a0 + a1xk + a2(xk)2 + ... + am(xk)m + ... + an(xk)n = f(xk), k=0,1, ... ,n. (1.4)
Если набор узлов (1.2) зафиксировать, то соотношения (1.4) можно рассматривать
как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
коэффициентов a0,a1, ... ,am, ... ,an интерполяционного многочлена pn( x; {xi}, f ),
и потому вопрос о существовании и единственности этого многочлена
2
