Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
Теорема 2.1. Многочлен (2.6) есть интерполяционный многочлен для
функции f , отвечающий набору узлов x
0
,x
1
,...,x
n
.
Доказательство . Многочлен (2.6) как линейная комбинация многочленов
(2.3) степени n не может иметь степень выше n. Далее, фиксируем номер k
узла интерполяции и полагаем x=x
k
в формуле (2,6). В силу (2.5) слагаемые
суммы (2.6), отвечающие значениям k ≠k, обратятся в нуль, а оставшееся
слагаемое в силу (2.4) окажется равным f(x
k
). Следовательно, p
n
(x
k
)=f(x
k
), что
ввиду произвольности k и завершает доказательство .
Замечание 2.2. В силу единственности интерполяционного многочлена
многочлен Лагранжа (2.6) совпадает с интерполяционным многочленом (1.1),
полученным методом неопределённых коэффициентов. Представления (1.1) и
(2.6) – лишь разные формы записи интерполяционного многочлена: первое из них
есть разложение интерполяционного многочлена по базису из функций
1,x,x
2
,...,x
n
, а второе – по базису из функций (2.3). Достоинство второго
разложения состоит в том, что коэффициенты в разложении по базису (2.3)
совпадают со значениями f(x
k
) функции f в узлах интерполяции, тогда как связь
коэффициентов a
i
разложения (1.1) с величинами f(x
k
) достаточно сложна.
3
0
. Поведение погрешности интерполяционного многочлена на отрезке
интерполяции.
Определение 3.1. Погрешностью интерполяционного многочлена в точке
x∈[a,b] ( или погрешностью интерполяции в точке x ) называется величина
r
n
(x) = f(x) – p
n
(x;{x
i
};f) . (3.1)
Выведем формулу для погрешности интерполяции в том частном случае ,
когда функция f является многочленом степени n+1 ( т.е. когда речь идёт о
приближении многочлена f степени n+1 многочленом p
n
степени не выше n ).
Теорема3.2. Для любого многочлена f степени n+1 справедлива формула
Доказательство . Функция (3.1) как разность многочлена f степени n+1 и
многочлена p
n
степени не выше n есть многочлен степени n+1. По
определению интерполяционного многочлена p
n
функция r
n
(x) обращается в
нуль во всех узлах интерполяции x
k
, а значит, и в узле x
0
. Но тогда по теореме
Безу многочлен r
n
делится без остатка на (x-x
0
), так что
r
n
(x) = (x – x
0
)q
n
(x),
)2.3(.)xx)...(xx)(xx(
)!1n(
)x(f
)xx(
)!1n(
)x(f
)x(p)x(f
n10
)1n(
n
0i
i
)1n(
n
−−−
+
=−
+
=−
+
=
+
∏
       Теорема 2.1. Многочлен (2.6) есть интерполяционный многочлен для
функции f , отвечающий набору узлов x0,x1,...,xn.
       Доказательство. Многочлен (2.6) как линейная комбинация многочленов
(2.3) степени n не может иметь степень выше n. Далее, фиксируем номер �k
узла интерполяции и полагаем x=x�k в формуле (2,6). В силу (2.5) слагаемые
суммы (2.6), отвечающие значениям k ≠�k, обратятся в нуль, а оставшееся
слагаемое в силу (2.4) окажется равным f(x�k ). Следовательно, pn(x�k )=f(x�k ), что
ввиду произвольности �k и завершает доказательство.
       Замечание 2.2. В силу единственности интерполяционного многочлена
многочлен Лагранжа (2.6) совпадает с интерполяционным многочленом (1.1),
полученным методом неопределённых коэффициентов. Представления (1.1) и
(2.6) – лишь разные формы записи интерполяционного многочлена: первое из них
есть разложение интерполяционного многочлена по базису из функций
1,x,x2,...,xn, а второе – по базису из функций (2.3). Достоинство второго
разложения состоит в том, что коэффициенты в разложении по базису (2.3)
совпадают со значениями f(xk) функции f в узлах интерполяции, тогда как связь
коэффициентов ai разложения (1.1) с величинами f(xk) достаточно сложна.


     30. Поведение погрешности интерполяционного многочлена на отрезке
интерполяции.


      Определение 3.1. Погрешностью интерполяционного многочлена в точке
x∈[a,b] ( или погрешностью интерполяции в точке x ) называется величина

                               rn(x) = f(x) – pn(x;{xi};f)    .                     (3.1)

      Выведем формулу для погрешности интерполяции в том частном случае,
когда функция f является многочленом степени n+1 ( т.е. когда речь идёт о
приближении многочлена f степени n+1 многочленом pn степени не выше n ).
      Теорема3.2. Для любого многочлена f степени n+1 справедлива формула

                      f (n+1) (x) n         f (n+1) (x)
       f (x) −pn (x) =           ∏(x −xi ) = (n +1)! (x −x0 )(x −x1)...(x −xn ) .
                       (n +1)! i=0
                                                                                    (3.2)


      Доказательство. Функция (3.1) как разность многочлена f степени n+1 и
многочлена pn      степени не выше n есть многочлен степени n+1. По
определению интерполяционного многочлена pn функция rn(x) обращается в
нуль во всех узлах интерполяции xk, а значит, и в узле x0. Но тогда по теореме
Безу многочлен rn делится без остатка на (x-x0), так что

                                 rn(x) = (x – x0)qn(x),


                                                                                        5

Страницы