Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
x
k
= x
0
+ kh , k=0,1, ... ,n (3.5)
( здесь h > 0 – расстояние между соседними узлами ) .
Введём новую вещественную переменную
принимающую в узлах интерполяции целые значения 0,1, ... ,n и по этой причине
условно называемую «целочисленной» (рис . 3.2).
В силу (3.3) погрешность интерполяции лишь числовым множителем K
отличается от функции
поэтому характер изменения погрешности при изменении x полностью
определяется функцией (3.7). При этом в формуле (3.7) удобно перейти к
переменной t с помощью вытекающего из (3.6) соотношения
x = x
0
+ th . (3.8)
Из соотношений (3.8),(3.5) получаем
x – x
0
= th , x – x
1
= x – x
0
– h = th – h = (t – 1)h, ... , x – x
n
= x – x
0
– nh = (t – n)h ,
а потому
Выберем точку x , отличную от узлов интерполяции, правее середины
отрезка [x
0
,x
n
] (что соответствует t>n/2) и выясним , как связаны значения
функции (3.7) в точках x и x + h (или, что то же самое, как связаны значения
функции (3.9) в точках t и t + 1).
В силу (3.9) имеем
следовательно
)6.3(,
h
xx
t
0
−
=
)7.3(,)xx()xx)...(xx)(xx()x(
n
0i
in101n
∏
=
+
−=−−−=ω
)9.3(.)nt(...)kt(...)1t(th)x()t(
1n
thxx
1n1n
0
+++=ω=ω
+
+=
++
,)nt()1nt(...)1t(th
n
t
1t
)1nt(...)1t(t)1t(h)1t(
1n1n
1n
−+−−
−
+
=+−−+=+ω
++
+
                            xk = x0 + kh          ,      k=0,1, ... ,n                        (3.5)

( здесь h > 0 – расстояние между соседними узлами ) .
      Введём новую вещественную переменную

                                                    x −x 0
                                                  t=                      ,                   (3.6)
                                                      h

принимающую в узлах интерполяции целые значения 0,1, ... ,n и по этой причине
условно называемую «целочисленной» (рис. 3.2).




     В силу (3.3) погрешность интерполяции лишь числовым множителем K
отличается от функции
                                                                     n
                       ωn+1(x) =( x −x0 )(x −x1)...(x −xn ) =∏( x −xi )                ,      (3.7)
                                                                    i=0
поэтому характер изменения погрешности при изменении x полностью
определяется функцией (3.7). При этом в формуле (3.7) удобно перейти к
переменной t с помощью вытекающего из (3.6) соотношения

                                           x = x0 + th .                                      (3.8)

      Из соотношений (3.8),(3.5) получаем

 x – x0 = th , x – x1 = x – x0 – h = th – h = (t – 1)h, ... , x – xn = x – x0 – nh = (t – n)h ,

а потому
                                                     n +1
                       ωn+1(t) =ωn+1( x)   x=x +th
                                                   =h     t ( t +1) ...( t +k) ...( t +n) .   (3.9)
                                              0




      Выберем точку x , отличную от узлов интерполяции, правее середины
отрезка [x0,xn] (что соответствует  t>n/2) и выясним, как связаны значения
функции (3.7) в точках x и x + h (или, что то же самое, как связаны значения
функции (3.9) в точках t и t + 1).
      В силу (3.9) имеем

                                                      t +1
      ωn+1 (t +1) =h n+1 (t +1)t (t −1) ... (t −n+1) = h n+1 t (t −1) ... (t −n+1)(t −n) ,
                                                      t −n
следовательно


                                                                                                  7

Страницы