Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Замечание 4.2. Отличие формулы (4.1) от ранее выведенной формулы (3.2)
состоит в том, что множитель f
(n+1)
(x) в формуле (3.2), как производная порядка
n+1 от многочлена степени n+1 , фактически от x не зависит, тогда как
аналогичный множитель f
(n+1)
(ξ(x)) в (4.1) с изменением x , вообще говоря ,
меняется.
Доказательство теоремы 4.1. Зафиксируем отличную от узлов интерполяции
точку x
∗
и подберём константу K
∗
так , чтобы имело место равенство
f(x
∗
) – p
n
(x
∗
) = K
∗
(x
∗
-x
0
)(x
∗
-x
1
)...(x
∗
-x
n
) (4.3)
( для этого, очевидно , следует положить
K
∗
= ( f(x
∗
) – p
n
(x
∗
) ) / (x
∗
- x
0
)(x
∗
- x
1
)...(x
∗
- x
n
) ) .
Составим теперь вспомогательную функцию переменной x
h(x) = f(x) – p
n
(x) – K
∗
(x – x
0
)(x – x
1
)...(x – x
n
) . (4.4)
В силу (1.3) функция h обращается в ноль во всех узлах интерполяции, а в
силу (4.3) – и в точке x
∗
. Переобозначим эти n+2 точки символами y
i
(0)
,
i=0,1,...,n+1, чтобы получить упорядоченный по возрастанию
y
0
(0)
< y
1
(0)
< y
2
(0)
< ... < y
n+1
(0)
(4.5)
набор корней нулевой производной функции h
h(y
i
(0)
) = 0 , i = 0,1, ... ,n+1 , (4.6)
расположенных, очевидно, на подотрезке
[y
0
(0)
,y
n+1
(0)
] = [ min{x
∗
,x
0
,x
1
, ... ,x
n
} , max{x
∗
,x
0
,x
1
, ... ,x
n
} ] (4.7)
отрезка [a,b] .
На концах отрезка [y
i
(0)
,y
i+1
(0)
] функция h принимает ( см. (4.6) ) равные ( а
именно, нулевые ) значения . Но тогда по теореме Ролля найдётся точка y
i
(1)
внутри этого отрезка
y
i
(0)
< y
i
(1)
< y
i+1
(0)
, (4.8)
в которой обращается в нуль первая производная функции h
h
′
(y
i
(1)
) = 0 , i=0,1, ... n ;
при этом в силу (4.5),(4.8) точки y
i
(1)
образуют упорядоченный по возрастанию
набор точек 
     Замечание 4.2. Отличие формулы (4.1) от ранее выведенной формулы (3.2)
состоит в том, что множитель f (n+1)(x) в формуле (3.2), как производная порядка
n+1 от многочлена степени n+1 , фактически от x не зависит, тогда как
аналогичный множитель f (n+1)(ξ(x)) в (4.1) с изменением x , вообще говоря,
меняется.
     Доказательство теоремы 4.1. Зафиксируем отличную от узлов интерполяции
точку x ∗ и подберём константу K ∗ так, чтобы имело место равенство

                         f(x ∗) – pn(x ∗) = K ∗(x ∗-x0)(x ∗-x1)...(x ∗-xn)           (4.3)

( для этого, очевидно, следует положить

              K ∗= ( f(x ∗) – pn(x ∗) ) / (x ∗- x0)(x ∗- x1)...(x ∗- xn)       ) .

      Составим теперь вспомогательную функцию переменной x

                      h(x) = f(x) – pn(x) – K ∗(x – x0)(x – x1)...(x – xn) .         (4.4)

       В силу (1.3) функция h обращается в ноль во всех узлах интерполяции, а в
силу (4.3) – и в точке x ∗. Переобозначим эти n+2 точки символами yi(0),
i=0,1,...,n+1, чтобы получить упорядоченный по возрастанию

                              y0(0) < y1(0) < y2(0) < ... < yn+1(0)                  (4.5)

набор корней нулевой производной функции h

                            h(yi(0)) = 0 , i = 0,1, ... ,n+1 ,                       (4.6)

расположенных, очевидно, на подотрезке

   [y0(0),yn+1(0)] = [ min{x ∗,x0,x1, ... ,xn} , max{x ∗,x0,x1, ... ,xn} ]           (4.7)

отрезка [a,b] .
      На концах отрезка [yi(0),yi+1(0)] функция h принимает ( см. (4.6) ) равные ( а
именно, нулевые ) значения. Но тогда по теореме Ролля найдётся точка yi(1)
внутри этого отрезка

                                      yi(0) < yi(1) < yi+1(0) ,                      (4.8)

в которой обращается в нуль первая производная функции h

                        h′(yi(1)) = 0 , i=0,1, ... n ;

при этом в силу (4.5),(4.8) точки yi(1) образуют упорядоченный по возрастанию
набор точек

                                                                                         9

Страницы