Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 11 стр.

погрешности при перемещении точки x по этому отрезку имеет характер,
указанный в предыдущем пункте. Поэтому на практике узлы интерполяции
стараются выбирать так, чтобы точка x , в которой требуется найти значение
интерполируемой функции, была бы поближе к центру упомянутого отрезка.
Ситуации же, когда точка x вообще лежит вне этого отрезка (такой случай
интерполирования называют экстраполяцией ), стараются избегать.

     50. Задача об оптимальном выборе узлов интерполяции.

      Пусть M – фиксированная постоянная: 0 < M < ∞.
      Обозначим через CM n+1[a,b] совокупность всех функций f , имеющих на
[a,b] непрерывные производные до порядка n+1 включительно и таких, что
                                                                  ( n +1 )
                                                max           f              ( x ) ≤M.   ( 5.1)
                                               a ≤x ≤b



     Зафиксируем на [a,b] набор узлов интерполяции x0,x1, ... ,xn , один и тот
же для всех функций f из класса CM n+1[a,b] .
     Качество интерполяции как способа приближённого нахождения значения
функции f в точке x естественно характеризовать величиной
                            α( x;{xi };f ) =f ( x)−pn ( x;{xi };f ) ,                    (5.2)
качество интерполяции как способа приближенной замены функции                                 f
многочленом на всём отрезке [a,b] - величиной
                            α({x i };f ) =max f ( x) −p n ( x;{x i };f ) ,               (5.3)
                                                    a ≤x ≤b

а качество замены всех функций f класса CM n+1[a,b] их интерполяционными
многочленами – величиной
                α({xi }) =            sup            max f (x)−p n (x;{x i };f ) .       (5.4)
                                                    a ≤x ≤b
                              f ∈CMn +1 [ a , b ]

Последняя величина ( её называют погрешностью интерполяции на классе
функций CM n+1[a,b] ) уже не зависит от точки x из [a,b] и функции f из CM n+1 ,
а определяется исключительно выбором узлов x0,x1, ... ,xn на отрезке [a,b] . В
связи с этим возникает следующая оптимизационная
      Задача 5.1. Подобрать узлы интерполяции x0,x1, ... ,xn на отрезке [a,b] так,
чтобы погрешность интерполяции на классе CM n+1[a,b] оказалась минимальной:

                             α ( x0,x1, ... ,xn ) → min .                                (5.5)

      Переформулируем задачу (5.1), выразив величину (5.4) непосредственно
через узлы x0,x1, ... ,xn .
      Лемма 5.2. Справедлива формула
                                   M
      α( x 0 , x 1 ,..., x n ) =          max ( x −x 0 )( x −x 1 )...( x−x n ) .         (5.6)
                                ( n +1)! a ≤x ≤b

                                                                                            11