ВУЗ:
Составители:
13
сопоставление же (5.7) и (5.10) даёт (5.6).
Определение 5.3. Уклонением функции ϕ от нуля на отрезке [a,b]
называют величину
Формула (5.6) с учётом постоянства множителя M/(n+1)! позволяет
сделать вывод, что задача 5.1 о нахождении оптимального для класса C
M
n+1
[a,b]
набора узлов интерполяции и нижеследующая задача эквивалентны .
Задача 5.4 Найти набор узлов x
0
,x
1
,...,x
n
так , чтобы уклонение функции
от нуля на отрезке [a,b] оказалось минимальным
Замечание 5.5. Функция ω
n+1
(x) , фигурирующая в соотношении (5.11), есть
многочлен степени n+1 со старшим коэффициентом единица, имеющий n+1
попарно различных корней на отрезке [a,b]. Поэтому задачи (5.4),(5.1) можно
сформулировать и так :
Задача 5.6. Среди всех многочленов степени n+1 со старшим
коэффициентом единица, имеющих на [a,b] n+1 попарно различных корней ,
найти многочлен, наименее уклоняющийся на [a,b] от нуля.
Корни такого многочлена и образуют оптимальный для класса C
M
n+1
[a,b]
набор узлов интерполяции.
6
0
. Многочлен Чебышева 1-го рода.
Решением сформулированной выше задачи 5.6 в случае , когда отрезок [a,b]
есть отрезок [-1,1] , является многочлен Чебышева T
n+1
(x).
Определение 6.1. Многочленом Чебышева 1-го рода T
n
(x) называют
многочлен, который получится, если в выражении
произвести возведение в n-ю степень по формуле бинома Ньютона и привести
подобные члены .
В частности , при n=1,2,3 получаем многочлены
)01.5(;)xx(...)xx()xx(max
!)1n(
M
)x,...,x,x(
n10
bxa
n10
−−−
+
≥α
≤≤
.)x(max
bxa
ϕ
≤≤
∏
−=ω
+
)xx()x(
i1n
)11.5(.min)xx(...)xx()xx()x(
n101n
→−−−=ω
+
{
}
)1.6(...,2,1n,)1xx()1xx(
2
1
)x(T
n2n2
n
n
=−−+−+=
M α( x 0 , x 1 ,..., x n ) ≥ max ( x−x0 )( x −x1 ) ... ( x−xn ) ; (5.10) ( n+1)! a ≤x≤b сопоставление же (5.7) и (5.10) даёт (5.6). Определение 5.3. Уклонением функции ϕ от нуля на отрезке [a,b] называют величину max ϕ( x ) . a ≤x ≤b Формула (5.6) с учётом постоянства множителя M/(n+1)! позволяет сделать вывод, что задача 5.1 о нахождении оптимального для класса C Mn+1[a,b] набора узлов интерполяции и нижеследующая задача эквивалентны. Задача 5.4 Найти набор узлов x0,x1,...,xn так, чтобы уклонение функции ωn+1 (x) = ∏(x−xi ) от нуля на отрезке [a,b] оказалось минимальным ωn+1 ( x) = ( x−x 0 )( x−x1 ) ...( x−x n ) → min . (5.11) Замечание 5.5. Функция ωn+1(x) , фигурирующая в соотношении (5.11), есть многочлен степени n+1 со старшим коэффициентом единица, имеющий n+1 попарно различных корней на отрезке [a,b]. Поэтому задачи (5.4),(5.1) можно сформулировать и так: Задача 5.6. Среди всех многочленов степени n+1 со старшим коэффициентом единица, имеющих на [a,b] n+1 попарно различных корней, найти многочлен, наименее уклоняющийся на [a,b] от нуля. Корни такого многочлена и образуют оптимальный для класса CMn+1[a,b] набор узлов интерполяции. 60. Многочлен Чебышева 1-го рода. Решением сформулированной выше задачи 5.6 в случае, когда отрезок [a,b] есть отрезок [-1,1] , является многочлен Чебышева Tn+1(x). Определение 6.1. Многочленом Чебышева 1-го рода Tn(x) называют многочлен, который получится, если в выражении 2 1 { Tn ( x ) = n ( x + x 2 −1 ) n +( x − x 2 −1 ) n } , n =1, 2,... ( 6.1) произвести возведение в n-ю степень по формуле бинома Ньютона и привести подобные члены. В частности, при n=1,2,3 получаем многочлены 13
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »