Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
сопоставление же (5.7) и (5.10) даёт (5.6).
Определение 5.3. Уклонением функции ϕ от нуля на отрезке [a,b]
называют величину
Формула (5.6) с учётом постоянства множителя M/(n+1)! позволяет
сделать вывод, что задача 5.1 о нахождении оптимального для класса C
M
n+1
[a,b]
набора узлов интерполяции и нижеследующая задача эквивалентны .
Задача 5.4 Найти набор узлов x
0
,x
1
,...,x
n
так , чтобы уклонение функции
от нуля на отрезке [a,b] оказалось минимальным
Замечание 5.5. Функция ω
n+1
(x) , фигурирующая в соотношении (5.11), есть
многочлен степени n+1 со старшим коэффициентом единица, имеющий n+1
попарно различных корней на отрезке [a,b]. Поэтому задачи (5.4),(5.1) можно
сформулировать и так :
Задача 5.6. Среди всех многочленов степени n+1 со старшим
коэффициентом единица, имеющих на [a,b] n+1 попарно различных корней ,
найти многочлен, наименее уклоняющийся на [a,b] от нуля.
Корни такого многочлена и образуют оптимальный для класса C
M
n+1
[a,b]
набор узлов интерполяции.
6
0
. Многочлен Чебышева 1-го рода.
Решением сформулированной выше задачи 5.6 в случае , когда отрезок [a,b]
есть отрезок [-1,1] , является многочлен Чебышева T
n+1
(x).
Определение 6.1. Многочленом Чебышева 1-го рода T
n
(x) называют
многочлен, который получится, если в выражении
произвести возведение в n-ю степень по формуле бинома Ньютона и привести
подобные члены .
В частности , при n=1,2,3 получаем многочлены
)01.5(;)xx(...)xx()xx(max
!)1n(
M
)x,...,x,x(
n10
bxa
n10
−−−
+
≥α
≤≤
.)x(max
bxa
ϕ
≤≤
∏
−=ω
+
)xx()x(
i1n
)11.5(.min)xx(...)xx()xx()x(
n101n
→−−−=ω
+
{
}
)1.6(...,2,1n,)1xx()1xx(
2
1
)x(T
n2n2
n
n
=−−+−+=
                                        M
        α( x 0 , x 1 ,..., x n ) ≥           max ( x−x0 )( x −x1 ) ... ( x−xn ) ;       (5.10)
                                     ( n+1)! a ≤x≤b
сопоставление же (5.7) и (5.10) даёт (5.6).
     Определение 5.3. Уклонением функции                       ϕ   от нуля на отрезке     [a,b]
называют величину
                                       max ϕ( x ) .
                                       a ≤x ≤b



      Формула (5.6) с учётом постоянства множителя M/(n+1)! позволяет
сделать вывод, что задача 5.1 о нахождении оптимального для класса C Mn+1[a,b]
набора узлов интерполяции и нижеследующая задача эквивалентны.
      Задача 5.4 Найти набор узлов x0,x1,...,xn так, чтобы уклонение функции
                                     ωn+1 (x) = ∏(x−xi )
от нуля на отрезке [a,b] оказалось минимальным

               ωn+1 ( x) = ( x−x 0 )( x−x1 ) ...( x−x n ) → min .                       (5.11)

     Замечание 5.5. Функция ωn+1(x) , фигурирующая в соотношении (5.11), есть
многочлен степени n+1 со старшим коэффициентом единица, имеющий n+1
попарно различных корней на отрезке [a,b]. Поэтому задачи (5.4),(5.1) можно
сформулировать и так:
     Задача 5.6. Среди всех многочленов степени          n+1   со старшим
коэффициентом единица, имеющих на [a,b] n+1 попарно различных корней,
найти многочлен, наименее уклоняющийся на [a,b] от нуля.
     Корни такого многочлена и образуют оптимальный для класса CMn+1[a,b]
набор узлов интерполяции.

     60. Многочлен Чебышева 1-го рода.

      Решением сформулированной выше задачи 5.6 в случае, когда отрезок [a,b]
есть отрезок [-1,1] , является многочлен Чебышева Tn+1(x).
      Определение 6.1. Многочленом Чебышева 1-го рода Tn(x) называют
многочлен, который получится, если в выражении


                       2
                        1
                           {
             Tn ( x ) = n ( x + x 2 −1 ) n +( x − x 2 −1 ) n   }   ,    n =1, 2,...       ( 6.1)


произвести возведение в n-ю степень по формуле бинома Ньютона и привести
подобные члены.
     В частности, при n=1,2,3 получаем многочлены



                                                                                             13

Страницы