Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Теорема 6.4. Многочлен T
n
(x) есть многочлен степени n со старшим
коэффициентом, равным единице.
Доказательство . Переписывая выражение
в виде
приходим к выводу, что при m < n предел этого выражения при x → ∞ равен
нулю , при m > n - плюс или минус бесконечности, а при m = n - старшему
коэффициенту a
n
числителя. Поэтому для доказательства теоремы достаточно
установить равенство
Имеем :
что и завершает доказательство .
Поведение многочлена T
n
на отрезке [-1,1] , а именно этот отрезок нас
интересует, удобно исследовать с помощью замены переменного
x = cos θ , 0 ≤ θ ≤ 1 , (6.2)
которая задаёт взаимно однозначное отображение отрезка [0,π] оси θ на
отрезок [- 1,1] оси x ( рис . 6.2 ).
,a
x
a
...
x
a
x
a
x
x
m
1m
1m
1
m
0
n
m
++++
−
−
.1
x
)x(T
lim
n
n
x
=
∞→
{}
,102
2
1
x
1
11lim
x
1
11lim
2
1
x
1
11
x
1
11lim
2
1
}
x
1xx
x
1xx
{lim
2
1
x
})1xx()1xx({
lim
2
1
x
)x(T
lim
nn
n
n
2
x
n
2
x
n
n
2
n
2
x
n
n
2
n
2
x
nn
n2n2
x
nn
n
x
=+=
+−+
−+=
=
−−+
−+=
−+
+
+
−+
=
−−+−+
=
∞→∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
0a,
x
xa...x
m
n
m
m
≠
+++
10
aa
     Теорема 6.4. Многочлен Tn(x) есть многочлен степени n со старшим
коэффициентом, равным единице.
     Доказательство. Переписывая выражение
                                 a0 +a1 x +...+a m x m
                                                                ,            a m ≠0
                                                 xn

в виде
                                     xm � a0     a1          a m−1       �
                                           �   +      +... +       +a      � ,
                                     x n �� x m x m−1
                                                                      m�
                                                               x            �

приходим к выводу, что при m < n предел этого выражения при x → ∞ равен
нулю , при m > n - плюс или минус бесконечности, а при m = n - старшему
коэффициенту an числителя. Поэтому для доказательства теоремы достаточно
установить равенство
                                                 Tn ( x )
                                           lim               =1 .
                                          x→∞          xn



          Имеем:


                                                                                                                                 n
      Tn ( x )     1     {( x + x 2 −1 ) n +( x − x 2 −1 ) n }                        1                      � x + x 2 −1 �
lim              = n lim                                       =                               lim {          �             �        +
x→∞       xn      2 x→∞                   xn                                          2n       x→∞           �      x        �
                                                                                                             �               �
                             n
      � x + x 2 −1 �           1                      �� �1         �
                                                                        n
                                                                                �     1    �
                                                                                               n
                                                                                                   ��
  +    �             �     } =              lim � �� 1+ 1− 2        �        +�� 1− 1− 2   �                =
      �                  �                                          �                      �       �
                 x             2n           x→∞
                                                 �� �     x         �             �   x    �       ��
      �                  �
           ��        �           �
                                      n
                                                  �             �
                                                                    n
                                                                        ��
 2
  1
= n        � xlim
               →∞�
                   � 1+ 1− 12
                           x
                                 �
                                 �          x→ ∞
                                                        1
                                          + lim �� 1− 1+ 2
                                                        x
                                                                �
                                                                �       �     =
                                                                                  1
                                                                                  2 n
                                                                                      {
                                                                                      2 n +0 n     }        = 1 ,
            ��      �            �                �             �       ��

что и завершает доказательство.
      Поведение многочлена Tn на отрезке [-1,1] , а именно этот отрезок нас
интересует, удобно исследовать с помощью замены переменного

                                          x = cos θ ,                         0≤θ ≤1                    ,                  (6.2)

которая задаёт взаимно однозначное отображение отрезка [0,π] оси θ на
отрезок [- 1,1] оси x ( рис. 6.2 ).


                                                                                                                                     15

Страницы