Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Подстановка (6.2) в (6.1) даёт функцию переменного θ
конкретный вид которой находится с помощью следующих преобразований
Итак ,
Отметим очевидные свойства функции (6.4).
Лемма 6.5. Множество корней функции Т
n
(θ) на отрезке [0,π] состоит из
n различных точек
упорядоченных, очевидно , по возрастанию
θ
0
< θ
1
< ... < θ
k
< θ
k+1
< ... < θ
n-1
. (6.6)
Доказательство . Множество корней функции cos z состоит ( см. рис . 6.3 )
из попарно различных точек
)3.6(,
cosx
)x(T)(T
n
n
θ=
=θ
{
}
{}
{}{}
{}
.ncos
2
1
nsinincosnsinincos
2
1
ee
2
1
)sinicos()sinicos(
2
1
)1coscos()1coscos(
2
1
cosx
)1xx()1xx(
2
1
)(T
1nn
nini
n
nn
n
n2n2
n
n2n2
n
n
θ=θ−θ+θ+θ=
=+=θ−θ+θ+θ=
=−−θ+−θ+θ=
=
θ=
−−+−+=θ
−
θ−θ
)4.6(.ncos
2
1
)(T
1n
n
θ=θ
−
)5.6(,1n,...,1,0k,
n2
1k2
k
−=π
+
=θ
....,2,1,0k,
2
1k2
k
2
z
k
±±=π
+
=π+
π
=
     Подстановка (6.2) в (6.1) даёт функцию переменного θ

                                      T n ( θ) = Tn ( x )
                                                ,                   ( 6.3)
                                       x =cos θ
конкретный вид которой находится с помощью следующих преобразований

     T n ( θ) =
                  1
                  2n
                       {( x + x   2
                                      −1 ) n + ( x − x 2 −1 ) n } x =cos θ =
     =
         1
         2n
              {( cos θ +   cos 2 θ −1 ) n + ( cos θ −         cos −1 ) } =
                                                                       2       n




     =
        1
              {( cos θ +i sin θ )     n
                                          + ( cos θ −i sin θ ) n   }       =
                                                                               1
                                                                                    {e   inθ
                                                                                                      }
                                                                                               + e −i n θ =
        2n                                                                     2n
         1                                                                  1
     = n      {cos n θ +i sin n θ +cos n θ −i sin n θ }            =              cos n θ .
        2                                                                  2 n −1
     Итак,

                                                       1
                                      T n ( θ) =             cos n θ .                                        (6.4)
                                                      2 n −1
     Отметим очевидные свойства функции (6.4).
     Лемма 6.5. Множество корней функции Т� n(θ) на отрезке [0,π] состоит из
n различных точек
                           2k +1
                       θk =      π ,               k =0,1, ..., n −1            ,                             (6.5)
                            2n

 упорядоченных, очевидно, по возрастанию

                   θ0 < θ1 < ... < θk < θk+1 < ... < θn-1 .                                                   (6.6)

      Доказательство. Множество корней функции cos z состоит ( см. рис. 6.3 )
из попарно различных точек

                                  π      2 k +1
                             z k = +k π =       π , k =0, ±1, ±2,...                             .
                                  2         2


                                                                                                                 16

Страницы