Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 17 стр.

Следовательно, множество корней функции (6.4) образовано попарно различными
точками
                        2k +1
                    θk =      π , k =0, ±1, ±2,...             ,
                         2n

выделяя из которых точки отрезка [0,π] , приходим к (6.5).
     Лемма 6.6. Множество точек экстремума функции �T n(θ) на отрезке [0,π]
состоит из n+1 различных точек
                                 ∗ k
                               θk = π , k =0,1,..., n ,               ( 6.7 )
                                    n
причем чётным k соответствуют максимальные значения, равные 1/2n-1 , а
нечётным – минимальные, равные -1/2n-1 . Эта совокупность точек, очевидно,
содержит концы отрезка и упорядочена по возрастанию

            0 = θ0∗< θ1∗ < ... < θk∗ < θk+1∗ < ... < θn∗ = 1 .           (6.8)

     Доказательство. Из того же рис. 6.3 видно, что множество точек экстремума
функции cos z состоит из попарно различных точек

                       zk∗ = kπ ,      k = 0 , ±1 , ±2 , ...       ,

причём чётным    k соответствуют максимальные значения, равные +1,           а
нечётным - равные -1. Но тогда экстремумы функции (6.4) суть точки вида

                          ∗ k
                        θk = π , k =0, ±1 , ±2,...             ,         ( 6.9)
                            n

причём чётным k отвечают максимумы, равные 1/2n-1 , а нечётным – минимумы,
равные -1/2n-1 . Выделяя из совокупности (6.9) точки, лежащие на [0,π] ,
получим точки (6.7).
      Замечание 6.7. График функции �T n(θ) на отрезке [0,π] можно получить из
графика cosθ на отрезке [0,nπ] с помощью сжатия правой полуплоскости вдоль
оси абсцисс, при котором абсциссы точек уменьшаются в n раз, и последующего

                                                                            17