Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
причём чётным k соответствуют максимумы равные 1/2
n-1
, а нечётным –
минимумы, равные -1/2
n-1
. Эта совокупность точек содержит концы отрезка [-1,1]
и упорядочена по убыванию
1 = x
0
∗
> x
1
∗
> ... > x
k
∗
> x
k+1
∗
> ... > x
n
∗
= - 1 . (6.13)
Доказательство . В силу равенства (6.3) и леммы 6.6 при любом θ∈[0,π]
имеем неравенства
а, значит, с учетом (6.3) и неравенства
Производя здесь обратную замену
θ = arc cos x , -1 ≤ x ≤ 1 ( 6.14)
и принимая во внимание равенство
cos ( arc cos x ) = x , (6.15)
для любого x∈[-1,1] получим
Следовательно , точки (6.12) действительно являются точками максимума и
минимума многочлена T
n
(x) на отрезке [-1,1] .
Других точек экстремума x
∗
, отличных от точек x
k
∗
, на отрезке [-1,1] быть
не может , так как в противном случае их прообразы θ
∗
= arccos(x
∗
) были бы
точками экстремума функции T
n
(θ) на отрезке [0,π] , отличными от точек θ
k
∗
,
что в силу леммы 6.6 невозможно.
Наконец , подстановка в (6.12) значений k = 0 и k = n даёт: x
0
∗
= 1, x
n
∗
= - 1,
а неравенства (6.13) следуют из (6.8) в силу строгого убывания функции (6.2) на
отрезке [0,π] ( см. рис . 6.2 ).
Замечание 6.11. Так как из двух соседних номеров k, k+1 один чётный, а
другой нечётный, при переходе от x
k
∗
к соседней точке x
k+1
∗
знак значения
)21.6(,n,...,1,0k,
n
k
cosx
k
=π=
∗
,
2
1
)(T
2
1
1n
n
1n −−
≤θ≤−
.
2
1
)cos(T
2
1
1n
n
1n −−
≤θ≤−
.
2
1
)x(T
2
1
1n
n
1n −−
≤≤−
                           ∗         k
                        x k =cos       π ,     k = 0,1, ... , n    ,         ( 6.12)
                                     n

причём чётным k соответствуют максимумы равные 1/2n-1 , а нечётным –
минимумы, равные -1/2n-1. Эта совокупность точек содержит концы отрезка [-1,1]
и упорядочена по убыванию

            1 = x0∗ > x1∗ > ... > xk∗> xk+1∗ > ... > xn∗ = - 1 .             (6.13)

     Доказательство. В силу равенства (6.3) и леммы 6.6 при любом θ∈[0,π]
имеем неравенства
                           1                  1
                        − n −1 ≤ T n ( θ ) ≤ n −1 ,
                         2                  2

а, значит, с учетом (6.3) и неравенства

                                  1                     1
                               − n −1 ≤ Tn ( cos θ ) ≤ n −1 .
                                2                     2

Производя здесь обратную замену

                            θ = arc cos x      ,    -1 ≤ x ≤1               ( 6.14)

и принимая во внимание равенство

                            cos ( arc cos x ) = x       ,                    (6.15)

для любого x∈[-1,1] получим
                                  1                 1
                               − n −1 ≤ Tn ( x ) ≤ n −1 .
                                2                 2

Следовательно, точки (6.12) действительно являются точками максимума и
минимума многочлена Tn(x) на отрезке [-1,1] .
      Других точек экстремума x∗ , отличных от точек xk∗, на отрезке [-1,1] быть
не может, так как в противном случае их прообразы θ∗ = arccos(x∗) были бы
точками экстремума функции �T n (θ) на отрезке [0,π] , отличными от точек θk∗,
что в силу леммы 6.6 невозможно.
      Наконец, подстановка в (6.12) значений k = 0 и k = n даёт: x0∗ = 1, xn∗= - 1,
а неравенства (6.13) следуют из (6.8) в силу строгого убывания функции (6.2) на
отрезке [0,π] ( см. рис. 6.2 ).
      Замечание 6.11. Так как из двух соседних номеров k, k+1 один чётный, а
другой нечётный, при переходе от xk∗ к соседней точке xk+1∗ знак значения

                                                                                 19

Страницы