Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
многочлена T
n
(x) меняется на противоположный, а ,значит, максимум переходит
в минимум , и наоборот.
Замечание 6.12. График многочлена Чебышева на отрезке [-1,1] имеет
такой же колебательный характер, что и график функции T
n
(θ) на отрезке [0,π]
( рис . 6.5 ). Отличие лишь в том , что у функции T
n
(θ) корни и точки экстремума
равноотстоящие, а у многочлена T
n
(x) - ввиду нелинейности замены 6.2 - они
этим свойством не обладают. Корни и экстремумы многочлена T
n
(x) сгущаются
к концам отрезка ( в том смысле, что расстояния между соседними точками x
k,
x
k+1
и x
k
∗
,x
k+1
∗
тем меньше, чем ближе эти точки к концам отрезка [-1,1] ).
Замечание 6.13. Имеется удобная «вещественная» формула для нахождения
значений многочлена Чебышева T
n
(x) на отрезке [-1,1]. Именно , в силу (6.3),
(6.4)
и замена (6.14) с учётом (6.15) даёт
Теоремы 6.4 и 6.8 показывают, что в случае [a,b] = [-1,1] многочлен
Чебышева T
n+1
(x) принадлежит классу многочленов, фигурирующих в
оптимизационной задаче 5.6. Остаётся проверить минимальность уклонения
многочлена Чебышева от нуля в упомянутом классе многочленов.
Теорема 6.14. Среди всех многочленов степени n со старшим
коэффициентом 1 минимальным уклонением от нуля на отрезке [-1,1] обладает
многочлен Чебышева T
n
(x) .
Доказательство . По теореме 6.8 уклонение T
n
(x) от нуля на [-1,1] равно
,0,ncos
2
1
)cos(T
1n
n
π≤θ≤θ=θ
−
)61.6(.1x1,)xarccosn(cos
2
1
)x(T
1n
n
≤≤−=
−
многочлена Tn(x) меняется на противоположный, а ,значит, максимум переходит
в минимум, и наоборот.




       Замечание 6.12. График многочлена Чебышева на отрезке [-1,1] имеет
такой же колебательный характер, что и график функции �T n(θ) на отрезке [0,π]
( рис. 6.5 ). Отличие лишь в том, что у функции �T n(θ) корни и точки экстремума
равноотстоящие, а у многочлена Tn(x) - ввиду нелинейности замены 6.2 - они
этим свойством не обладают. Корни и экстремумы многочлена Tn(x) сгущаются
к концам отрезка ( в том смысле, что расстояния между соседними точками xk,xk+1
и xk∗,xk+1∗ тем меньше, чем ближе эти точки к концам отрезка [-1,1] ).
       Замечание 6.13. Имеется удобная «вещественная» формула для нахождения
значений многочлена Чебышева Tn(x) на отрезке [-1,1]. Именно, в силу (6.3),
(6.4)
                                      1
                     T n (cos θ) =          cos nθ   ,   0 ≤θ≤π ,
                                     2 n −1

и замена (6.14) с учётом (6.15) даёт
                      1
        Tn ( x ) =         cos ( n arccos x )   ,    −1≤x ≤1   .         (6.16)
                     2 n−1




     Теоремы 6.4 и 6.8 показывают, что в случае [a,b] = [-1,1] многочлен
Чебышева    Tn+1(x)   принадлежит классу многочленов, фигурирующих в
оптимизационной задаче 5.6. Остаётся проверить минимальность уклонения
многочлена Чебышева от нуля в упомянутом классе многочленов.
     Теорема 6.14. Среди всех многочленов степени         n    со старшим
коэффициентом 1 минимальным уклонением от нуля на отрезке [-1,1] обладает
многочлен Чебышева Tn(x) .
     Доказательство. По теореме 6.8 уклонение Tn(x) от нуля на [-1,1] равно
                                                                              20

Страницы