Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
1/2
n-1
, а потому в предположении противного найдется многочлен P
n
(x) степени
n со старшим коэффициентом 1 , удовлетворяющий неравенству
а, значит, и неравенствам
Положим здесь x = x
k
∗
. Если T
n
(x
k
∗
) = 1/2
n-1
, то правое из неравенств (6.18) даёт
а если T
n
(x
k
∗
) = -1/2
n-1
, то из левого получаем
Следовательно , в точках x
k
∗
, k = 0,1, ... ,n знак разности
совпадает со знаком многочлена T
n
(x) .
В силу замечания 6.11 на концах отрезка [x
k+1
∗
,x
k
∗
] многочлен T
n
(x)
принимает значения разных знаков, а тогда тем же свойством обладает и
многочлен Q
n
(x). Следовательно, внутри отрезка [x
k+1
∗
,x
k
∗
] имеется корень Q
n
(x),
а так как число таких отрезков равно n , многочлен Q
n
имеет на [-1,1] не менее
n корней . Последнее же противоречит тому, что степень Q
n
строго меньше n ( в
формуле (6.19) старшие члены x
n
многочленов T
n
, Q
n
взаимно уничтожаются ).
В силу доказанной теоремы и эквивалентности задачи 5.6 исходной задаче
5.1 справедлив следующий
Вывод 6.15. Оптимальным набором узлов интерполяции, обеспечивающим
минимальность погрешности интерполяции (5.4) на классе С
M
n+1
[-1,1] , является
набор корней многочлена Чебышева T
n+1
(x).
Замечание 6.16. Если отрезок [a,b] не совпадает с отрезком [-1,1], то для
нахождения оптимального набора узлов интерполяции следует выписать
линейную замену
переводящую отрезок [-1,1] оси t в отрезок [a,b] оси x , и подставить сюда
вместо t корни многочлена Чебышева T
n+1
(t) :
)71.6(,
2
1
)x(Pmax
1n
n
1x1
−
≤≤−
<
)81.6(.]1,1[x,
2
1
)x(P
2
1
1n
n
1n
−∈<<−
−−
,)x(P)x(T0
knkn
∗∗
−<
.0)x(P)x(T
knkn
<−
∗∗
)91.6()x(P)x(T)x(Q
nnn
−=
,
2
ba
t
2
ab
x
+
+
−
=
.n,...,1,0k,
2
ba
2n2
1k2
cos
2
ab
x
k
=
+
+π
+
+
−
=
 1/2n-1 , а потому в предположении противного найдется многочлен Pn(x) степени
n со старшим коэффициентом 1 , удовлетворяющий неравенству
                                                      1
                             max        P n ( x) <          ,                             (6.17)
                            −1 ≤ x ≤1                2 n −1
а, значит, и неравенствам
                           1                 1
                      −     n −1
                                 < Pn ( x) < n −1         ,     x ∈[ −1, 1] .             (6.18)
                          2                 2

 Положим здесь x = xk∗. Если Tn(xk∗) = 1/2n-1 , то правое из неравенств (6.18) даёт
                                         ∗            ∗
                            0

Страницы