Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 23 стр.

     a)  || f || ≥ 0 , || f || = 0 только для f = 0 ( неотрицательность и
         невырожденность ) ,
     b) || λf || = | λ | || f || ( однородность ) ,
     c) || f + g || ≤|| f || + || g || ( неравенство треугольника ) ,
накладываемых на норму, очевидно.
     Заметим, что норма f есть не что иное, как определённое ранее уклонение
функции f от нуля на отрезке [a,b] ( см. определение 5.3 ).
     Пространство C[a,b] есть пространство метрическое: расстояние между
функциями f и g как элементами пространства задаётся формулой

                ρ( f , g ) = f −g   C[ a , b ]
                                                 = max f ( x ) − g ( x )   ;     ( 7.4)
                                                       a ≤x ≤b



величину (7.4) называют также уклонением функции f от функции g на отрезке
[a,b] .
        Подмножество G метрического пространства M называют всюду
плотным в M подмножеством, если любой элемент пространства M можно с
любой точностью приблизить элементами из G , т.е. если для любого y∈M и
любого ε > 0 найдётся элемент g∈G , такой что ρ(y,g) < ε. В случае
пространства C[a,b] всюду плотным подмножеством является, например,
совокупность всех многочленов, поскольку согласно теореме Вейерштрасса
любая непрерывная на [a,b] функция с любой степенью точности может быть
приближена в метрике (7.4) многочленом. Другими всюду плотными в C[a,b]
подмножествами являются совокупности Cm[a,b] ( m ≥ 1 ) функций, имеющих
непрерывные на [a,b] производные до порядка m включительно; этот факт
очевиден, поскольку всякий такой класс Cm [a,b] включает в себя множество всех
многочленов.
        По аналогии с последовательностями чисел, последовательность {fn}
непрерывных на [a,b] функций называют фундаметальной последовательностью,
если члены fn , fm последовательности неограниченно сближаются по мере
увеличения их номеров, т.е. если по любому ε > 0 найдётся номер n(ε), такой что
ρ(fn,fm) < ε для любых n,m ≥ n(ε). Как и пространство вещественных чисел R1 ,
пространство      C[a,b] полно в том смысле, что любая фундаментальная
последовательность его элементов сходится к некоторому элементу f этого
пространства:
                 ρ( f , f n ) = f −f n                  → 0      при   n → ∞ .   ( 7.5)
                                          C[ a , b ]



      Заметим, что не всякое линейное нормированное пространство функций
обладает свойством полноты. Например, не является полным пространство всех
многочленов с нормой (7.3) и метрикой (7.4), поскольку последовательность
многочленов , сходящаяся к какой –либо отличной от многочлена непрерывной
функции     f    ( существование таких последовательностей гарантируется
упомянутой выше теоремой Вейерштрасса ), будучи фундаментальной, не может
в силу единственности предела сходиться ни к какому многочлену.
                                                                                    23