Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 25 стр.

      Доказательство. Обозначим правую часть равенства (7.8) через λn :
                                                                    n
                                       λ n = max
                                                    a ≤x ≤b
                                                                  ∑k =0
                                                                          l k ( x) .                              ( 7.9)


Для любой точки x∗∈[a,b] имеем

                        n                                  n                                          n
        ∗
   p n ( x ;f ) =     ∑ f (x
                       k =0
                               k   ) l k ( x ) ≤ ∑ f ( x k ) l k ( x ) ≤ max f ( x )
                                         ∗

                                                         k =0
                                                                                 ∗
                                                                                       a ≤x ≤b
                                                                                                     ∑
                                                                                                     k =0
                                                                                                            l k ( x∗) =

            n
  = f      ∑
           k =0
                  l k ( x∗) ≤ f       max
                                     a ≤x ≤b
                                               ∑         l k ( x) = f           λn ,


откуда ввиду произвольности точки x∗ получаем

                      L n ( f ) = pn ( f ) = max p n ( x ; f ) ≤ λ n f                           .
                                                               a ≤x ≤b



Следовательно,
                                     L n ( f ) / f ≤ λn ,
а потому
                                      || Ln || ≤ λn .                                                            (7.10)

      Установим противоположное неравенство .
      Заметим, что фигурирующая в (7.8) функция
                                                     n
                                     λ( x ) = ∑ l k ( x )
                                                    k =0

непрерывна, а потому максимум в (7.8) достигается в некоторой точке x∗∗ ∈ [a,b] :

                                       λ n = ∑ l k ( x∗∗) .                                                      ( 7.11)

      Зададим функцию f в узлах интерполяции формулой

                                               � +1 , l k ( x∗∗) > 0 ,
                                               ��
            f ( x k ) = sign l k ( x∗∗) = �           0 , l k ( x∗∗) = 0 ,                                       ( 7.12)
                                               �              ∗∗
                                               �� −1 , l k ( x ) < 0 ,

и достроим её до непрерывной на [a,b] функции, доопределив на отрезках
[a,x0], [xn,b] соответственно константами f (x0), f(xn) , а на отрезках [xk,xk+1] -
линейно:

                                                                                                                     25