Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
8
0
. Исследование сходимости глобальной интерполяции.
Пусть дана бесконечная треугольная матрица T , n-ая ( n = 0,1, ... ) строка
которой составлена из попарно различных точек x
0
(n)
, x
1
(n)
, ... , x
n
(n)
отрезка [a,b]
Сопоставляя функции f интерполяционный многочлен p
n
( { x
i
(n)
} ; f ),
построенный по точкам n-ой строки матрицы T как по узлам интерполяции,
получим последовательность { p
n
} интерполяционных многочленов
p
n
( { x
i
} ; f ) = p
n
( f ) = p
n
, n = 0,1, ...
Нас интересует вопрос , будут ли построенные многочлены сходиться при
n → ∞ к функции f в смысле соотношения (7.5):
Приближённая замена функции f на всём отрезке [a,b] её
интерполяционным многочленом p
n
называется глобальной интерполяцией , а
сам многочлен p
n
называют при этом глобальным интерполянтом функции f на
[a,b]. Таким образом , речь идёт о сходимости при n → ∞ процесса глобальной
интерполяции в смысле метрики (7.4) пространства C[a,b].
Ответ на поставленный вопрос - отрицательный:
Теорема 8.1 ( Фабер ) . Для любой матрицы узлов (8.1) найдётся функция f
из C[a,b], для которой соотношение (8.2) не имеет места.
Доказательство этой теоремы базируется на теореме Банаха-Штейнгауза из
функционального анализа и неравенстве Бернштейна из конструктивной теории
функций . При этом теорема Банаха- Штейнгауза указывает условия сильной
сходимости линейных ограниченных операторов A
n
, действующих в полном
линейном нормированном пространстве N , к линейному ограниченному
оператору A из того же пространства, т.е. условия сходимости значений A
n
(v)
этих операторов на произвольном элементе v∈N к значению A(v) оператора A
на том же элементе:
)1.8(.
xxx
xx
x
T
)n(
n
)n(
1
)n(
0
)1(
1
)1(
0
)0(
0
=
LLLLLLL
K
LLLL
)2.8(.n при0)x(p)x(fmaxpf
n
bxa
]b,a[C
n
∞→→−=−
≤≤
)3.8(;Nvлюбогодляnпри0)v(A)v(A
N
n
∈∞→→−
      80. Исследование сходимости глобальной интерполяции.


     Пусть дана бесконечная треугольная матрица T , n-ая ( n = 0,1, ... ) строка
которой составлена из попарно различных точек x0(n), x1(n), ... , xn(n) отрезка [a,b]
                                                � x (00)
                                                �    (1) (1)
                                            � x 0 x1
                                       T = �                                                 .   ( 8.1)
                                             �
                                               � x 0(n) x1(n)  x (nn)
                                                �
                                                  � 
Сопоставляя функции f интерполяционный многочлен p n ( { xi(n) } ; f ),
построенный по точкам n-ой строки матрицы T как по узлам интерполяции,
получим последовательность { pn } интерполяционных многочленов

                   pn( { xi } ; f ) = pn( f ) = pn ,                     n = 0,1, ...

    Нас интересует вопрос, будут ли построенные многочлены сходиться при
n → ∞ к функции f в смысле соотношения (7.5):

               f −p n                =max f ( x ) −p n ( x )         → 0           при n → ∞ .       ( 8. 2 )
                        C[ a , b ]    a ≤x ≤b



       Приближённая замена функции          f   на всём отрезке       [a,b]  её
интерполяционным многочленом pn называется глобальной интерполяцией, а
сам многочлен pn называют при этом глобальным интерполянтом функции f на
[a,b]. Таким образом, речь идёт о сходимости при n → ∞ процесса глобальной
интерполяции в смысле метрики (7.4) пространства C[a,b].
       Ответ на поставленный вопрос - отрицательный:
       Теорема 8.1 ( Фабер ) . Для любой матрицы узлов (8.1) найдётся функция f
из C[a,b], для которой соотношение (8.2) не имеет места.
       Доказательство этой теоремы базируется на теореме Банаха-Штейнгауза из
функционального анализа и неравенстве Бернштейна из конструктивной теории
функций. При этом теорема Банаха-Штейнгауза указывает условия сильной
сходимости линейных ограниченных операторов An , действующих в полном
линейном нормированном пространстве N , к линейному ограниченному
оператору A из того же пространства, т.е. условия сходимости значений An(v)
этих операторов на произвольном элементе v∈N к значению A(v) оператора A
на том же элементе:

                A( v) −A n ( v)                 → 0 при n → ∞             для любого v ∈N ;          (8.3)
                                          N




                                                                                                          27

Страницы