Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 28 стр.

неравенство же Бернштейна даёт оценку снизу для нормы оператора
интерполирования Ln.
      Сформулируем       соответствующие      утверждения,    отсылая     за
доказательствами к книгам [1],[2].
      Теорема 8.2 ( Банах, Штейнгауз ). Для справедливости соотношения (8.3)
необходимо и достаточно одновременное выполнение условий:
      а) сходимость An(v) к A(v) для всех элементов v из какого-либо всюду
плотного в N подмножества;
      б) равномерная по n ограниченность норм операторов An :
                                  An ≤ C < ∞ ,                                (8.4)
где C - независящая от n константа.
        Теорема 8.3 ( Бернштейн ). При любом выборе узлов интерполяции x0 , x1 ,
... , xn на отрезке [a,b] справедливо неравенство
                                         ln n
                                  λn >        .                          (8.5)
                                        8 π
       Доказательство теоремы 8.1. Сходимость глобальных интерполянтов pn(f)
к самим функциям f на операторном языке означает сильную сходимость (8.3)
операторов интерполирования Ln к тождественному оператору I в C[a,b] ( I(f) =
= f ):
   f −p C[ a , b] = I ( f ) −L n ( f ) → 0 при n → ∞ для любого f ∈C[ a , b] . (8.6)
                             C[ a , b ]



При этом условие а) теоремы Банаха – Штейнгауза выполнено: если в качестве
всюду плотного в C[a,b] множества взять совокупность всех многочленов, то для
любого его конкретного представителя g интерполяционные многочлены pn( g ),
начиная с номера n , равного степени g , окажутся совпадающими с самим
многочленом g , и сходимость Ln к I на этом элементе будет иметь место.
     Что же касается условия б), то, переписывая с учётом (7.9),(7.8) неравенство
Бернштейна (8.5) в форме
                                              ln n
                            Ln            >                                   (8.7)
                                              8 π

и принимая во внимание неограниченный рост ln n при n→ ∞ , приходим к
выводу, что при любой матрице узлов T оценка (8.4) для операторов
интерполирования Ln не может быть справедливой. Значит, при любой матрице
узлов (8.1) соотношение (8.6) не может иметь места, а это и означает
справедливость доказываемой теоремы Фабера.
       Замечание 8.4. Отметим, что в теореме Фабера речь идёт об отсутствии
сходимости глобального интерполянта в смысле соотношения (8.2), т.е. в смысле
равномерной сходимости функций на отрезке. Оказывается ( [3] ) , что замена
равномерной сходимости поточечной сходимостью ситуации не меняет: для
любой матрицы узлов найдутся функция f ∈ C[a,b] и точка x ∈ [a,b] , такие что
pn(x;f) не стремится к f(x) при n → ∞. При этом важно подчеркнуть, что
                                                                                  28