Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
Отсюда следует, что если норма оператора L
n
велика, т.е. если он может сильно
увеличивать норму функции, то даже малые погрешности при задании f(x
k
),
отвечающие малой по норме разности f
∗
- f , способны породить большое
отличие полученного многочлена p
n
∗
от искомого многочлена p
n
. По этой
причине глобальные интерполянты p
n
с большим n стараются не применять
даже в тех случаях, когда теоретическая сходимость p
n
к приближаемой функции
f не вызывает сомнений .
9
0
. Локальная интерполяция и её сходимость .
Разделим отрезок [a,b] на N равных частей длины h точками
x
i
= a + i h i = 0,1, ... ,N , h = ( b – a )/N .
Введём на i-том отрезке разбиения [x
i-1
,x
i
] равноотстоящие узлы
интерполяции
x
i , k
= x
i –1
+ (k/n) h , k = 0,1, ... ,n , i = 1, ... ,n (9/1)
( i – номер отрезка, k – номер узла на нём ) и заменим функцию f на этом отрезке
интерполяционным многочленом p
i,n
( i – номер отрезка, n – степень
многочлена).
Совокупность этих многочленов порождает функцию на отрезке [a,b] ,
которую мы обозначим символом p
n
N
и назовём локальным интерполянтом
функции f на отрезке [a,b] :
Непрерывность локального интерполянта p
n
N
на отрезке [a,b] следует из
того, что в точке x
i
– границе двух смежных отрезков – многочлены p
i, n
, p
i+1, n
принимают одно и то же значение f(x
i
) ( рис . 9.1 ) :
p
i, n
(x
i
) = p
i, n
(x
i, n
) = f(x
i, n
) = f(x
i
) = f(x
i+1,0
) = p
i+1,n
(x
i+1,0
) = p
i+1,n
(x
i
) .
.pp
n,i
]x,x[
N
n
i1i
=
−
Отсюда следует, что если норма оператора Ln велика, т.е. если он может сильно
увеличивать норму функции, то даже малые погрешности при задании f(xk),
отвечающие малой по норме разности f∗ - f , способны породить большое
отличие полученного многочлена pn∗ от искомого многочлена pn . По этой
причине глобальные интерполянты pn с большим n стараются не применять
даже в тех случаях, когда теоретическая сходимость p n к приближаемой функции
f не вызывает сомнений.

     90. Локальная интерполяция и её сходимость.

     Разделим отрезок [a,b] на N равных частей длины h точками

                    xi = a + i h            i = 0,1, ... ,N ,                       h = ( b – a )/N .

     Введём на          i-том отрезке разбиения                            [xi-1,xi]     равноотстоящие узлы
интерполяции

                  xi , k = xi –1 + (k/n) h ,             k = 0,1, ... ,n        ,       i = 1, ... ,n   (9/1)

( i – номер отрезка, k – номер узла на нём ) и заменим функцию f на этом отрезке
интерполяционным многочленом            pi,n ( i – номер отрезка, n – степень
многочлена).
       Совокупность этих многочленов порождает функцию на отрезке [a,b] ,
которую мы обозначим символом pnN и назовём локальным интерполянтом
функции f на отрезке [a,b] :

                                p nN                     = pi,n .
                                       [ x i −1, x i ]


       Непрерывность локального интерполянта pnN на отрезке [a,b] следует из
того, что в точке x i – границе двух смежных отрезков – многочлены pi, n , pi+1, n
принимают одно и то же значение f(xi) ( рис. 9.1 ) :

         pi, n(xi) = pi, n(xi, n) = f(xi, n) = f(xi) = f(xi+1,0) = pi+1,n(xi+1,0) = pi+1,n(xi) .




                                                                                                           30

Страницы