Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
Замечание 9.3. Неравенство (9.2) позволяет не только установить факт
сходимости, но и судить о её быстроте: погрешность локального интерполянта
p
n
N
есть величина порядка O(1/N
n+1
).
Обозначим через L
n
N
линейный оператор в C[a,b] , сопоставляющий
функции f из C[a,b] её локальный интерполянт p
n
N
(f) :
L
n
N
: f → p
n
N
( f ) .
Лемма 9.4. При любом фиксированном n нормы операторов локального
интерполирования L
n
N
равномерно по N ограничены :
Доказательство . Обозначим через L
i , n
оператор интерполирования на
отрезке [x
i – 1
,x
i
] , а через λ
i , n
- величину
равную в силу леммы 7.4 норме оператора L
i , n
.
Заметим , что знание нормы линейного оператора
в силу очевидного неравенства
позволяет оценить норму преобразованного элемента A(f) через норму
исходного f :
Применяя эту оценку к оператору L
i , n
, будем иметь
.N при0pf
]b,a[C
N
n
∞→→−
)3.9(.KL
n
]b,a[C
N
n
∞<≤
)4.9(,
)xx(
)xx(
max)x(lmax
n
0k
n
0k
kj
j,ik,i
kj
j,i
xxx
k,i
xxx
n,i
i1ii1i
∑∑
∏
∏
==
≠
≠
≤≤≤≤
−
−
==λ
−−
f
)f(A
supA
f
=
A
f
)f(A
≤
.fA)f(A ≤
                                       f −p nN                → 0                при        N → ∞ .
                                                 C[ a , b ]



      Замечание 9.3. Неравенство (9.2) позволяет не только установить факт
сходимости, но и судить о её быстроте: погрешность локального интерполянта
pnN есть величина порядка O(1/Nn+1).
      Обозначим через LnN линейный оператор в C[a,b] , сопоставляющий
функции f из C[a,b] её локальный интерполянт pnN(f) :

                                   LnN :         f       →           pnN ( f ) .

     Лемма 9.4. При любом фиксированном n нормы операторов локального
интерполирования LnN равномерно по N ограничены:

                                                     L nN                  ≤ Kn < ∞ .                                   (9.3)
                                                              C[ a , b ]



      Доказательство. Обозначим через Li                                         , n     оператор интерполирования на
отрезке [x i – 1,x i] , а через λi , n - величину

                                   n                                                n       ∏ ( x −x   i, j   )
                                  ∑                                               ∑
                                                                                            j ≠k
     λ i,n =       max                   l i , k ( x) =             max                                           ,     (9.4)
               x i −1 ≤ x ≤ x i
                                  k =0
                                                              x i −1 ≤ x ≤x i
                                                                                  k =0    ∏ ( x i,k −x i, j )
                                                                                           j ≠k



равную в силу леммы 7.4 норме оператора Li , n .
     Заметим, что знание нормы линейного оператора

                                                                           A( f )
                                             A           = sup
                                                                f            f

в силу очевидного неравенства
                                                 A( f )
                                                                 ≤ A
                                                     f

позволяет оценить норму преобразованного элемента                                                     A(f)        через норму
исходного f :

                                           A(f ) ≤ A f                              .

Применяя эту оценку к оператору L i , n , будем иметь



                                                                                                                           32

Страницы